ひし形を利用して微分の概念を理解できないでしょうか

質問

今半径ｒの円を描き中心から角度θで一辺ｒのひし形を考えます。θを０に近づけていっても円全体の面積は変らないのでこのようなつぶれたひし形の半分を集めるとこの円の面積になることが想像でき（ると思い）ます。ところが残りの、円の外側のひし形部分のほうはなぜか面積が０になってしまうとしか想像できません。しかしひし形全体で考えてみるとやはりこの円の面積になることが納得できるように思います。因みにこれは半径２ｒの同心円から半径ｒの円を切り取った部分の面積が３πｒ＾２になることを納得しやすくすることにつながるように思うのですが・・・何とか無限小の面積を納得して微分の概念を直観的に理解できないかと思っています。長々と書きましたがよろしくお願い申し上げます。

回答No.2

zabuzaburo · ベストアンサー

これは(私にとっては)とても面白いご質問ですので、
機会があればどこかで取り上げてみたいのですが、よろしいでしょうか？

円の内側の半ビシ(ひし形の半分)だって、
θをゼロに近づければ、個々の面積はゼロに近づきます。
この点は内側も外側も違いはありません。
にも関わらず、内側の総和は円の面積に近づくことが想像できるのに、
外側の総和はゼロとしか考えられないのには理由があります。

それは、内ビシが円内に隙間なく敷き詰められているのに対し、
外ビシは漫画に出てくる太陽のように円から外向きに生えていますが、
これらの間には隙間があり、決してドーナツをおおっているわけではないからです。

意味のある極限値を捉えるためには、隙間の部分の面積も考慮する必要があります。
θでカバーされる領域には、外ビシの両サイドに半ビシが一つずつ陣取っています。

▼▲▼
　▽
(上段の真ん中の▲が外ビシ、下段の▽が内ビシです)

こう考えれば、ドーナツ(すなわち▼▲▼の総和)が
円(▽の総和)の3倍、すなわち 3πr^2 となることが直観的に理解できます。
あるいは▼▲▼を台形とみなし、
面積が [r(rθ + 2rθ) / 2] の微小台形が [2π / θ] 個ある、と考えても求まります。

お礼

ご親切なご教示ありがとうございました。私はひし形の特性に関する経験的イメージの助けによりひし形をつぶして行ったとき対角線で二分される二つの部分がつぶれ方にかかわらず合同であることを信じられることを大切に出来ないかと思いました。大変勉強になりました。

補足

私の所有物ではありませんからどうぞご自由になさってください。私が疑問に思うようなことは大抵の人には問題にならないのではないかと思っています。私は何か教えていただければ十分です。

回答No.1

kabaokaba

なぜ微分？？
積分だというのならまだ分かりますが。。。

なお，一個一個のパーツは微小でも
それを「無限個」あつめれば微小ではないのが積分です．
そこらへんのことを勘違いしてませんか？
一個一個のひし形を細かくすればするほど
ひし形全体の個数は増えていきます．
さらに余った「重なり」も考慮しないといけません．

>半径２ｒの同心円から半径ｒの円を切り取った部分の面積が３πｒ＾２になることを納得しやすくすることにつながるように思うのですが

ただ引き算すればいいだけでは？

お礼

学歴がないものですから基本が欠けています。ご丁寧なご指摘を感謝いたします。