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ベクトルで角の二等分線
ふたつのベクトル →aと→bがあって このベクトルの角の２等分線が単位ベクトルを使って →OP＝t（→a＋→b） ―― ―― |→a｜|→b｜ と表されるらしいんですがなぜですか？ 二等分させちゃうのがわけわかりません
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ベクトルaの単位ベクトルと、ベクトルbの単位ベクトルを足し算すると、図を描いてもらえれば分かると思いますが、１辺の長さが1であるひし形を描くことになると思います。 ひし形を対角線で半分にすると二等辺三角形になります。ひし形の２つの対角線は直交しているので、その対角線は二等辺三角形の中線であることがわかります。したがって、それは二等辺三角形の角の二等分線であることがわかり、ベクトルaの単位ベクトルとベクトルbの単位ベクトルの和は、ベクトルaとベクトルbのなす角を二等分する直線であるといえます。tは、ベクトルOPの長さを表します。 ちなみに、単位ベクトルとは、単位長さのベクトルのことなので、→a/|→a|となります。
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任意のベクトルa,bにおいて、 a/|a| , b/|b|は, |a/|a|| = |a|/|a| = 1 , |b/|b|| = |b|/|b| = 1より、大きさが １のベクトル、すなわち単位ベクトルを表しています。 a/|a|の終点をＡ、b/|b|の終点をＢ、a/|a| + b/|b|の終点をＣとし、 それぞれの始点をＯとすると、 平行四辺形ＯＡＢＣの２つの対角線を表すベクトルをそれぞれ、ＯＣ、ＡＢ とすると、 ＯＣ＝ ＯＡ＋ＯＢ＝ a/|a| + b/|b| ＡＢ ＝ ＯＢ－ＯＡ＝ b/|b| - a/|a| とすると、ＯＡ・ＡＢ＝ (a/|a| + b/|b|)(b/|b| - a/|a|) = ０より ２つの対角線は直交する事が言えます。 また、ＯＡ＝ＯＢ＝１より、平行四辺形はひし形になると言え、 ひし形であれば、対角線ＯＣは∠ＡＯＢを２等分するので、 t(a/|a| + b/|b|)は２等分線を表すベクトルである事が言えます。
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ありがとうございました！
- kkkk2222
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この事項は意外に判り難いです。 多くの高校生が理解してないはずです。 当方も現役の時、納得に時間がかかりました。 幾つかの理由がありますが、 ＃１ ベクトルは角度の問題では扱い難い。 ＃２ 式の意味が判り難い。 まず、具体的な例で理解するのが早道のようです。 以下ベクトルは矢印を付けずに表記します。 ａ、ｂはベクトルです。 表示はどうしてもズレます。画面も最大画面が見易くなります。 ＿ ／ | ／ ／ ／ ｂ 大きさ ４ ／ ／￣／ -------------------------------------→ ａ 大きさ ６ ｜ａ｜＝６、｜ｂ｜＝４ とでも頭において読んで下さい。 ａ ａ ―― ＝ ――は方向がａと同じで大きさが１の単位ベクトルです。 ｜ａ｜ ６ ｂ ｂ ―― ＝ ――は方向ｂがと同じで大きさが１の単位ベクトルです。 ｜ｂ｜ ４ ａ ｂ ａ ｂ ―― ＋―― ＝ ――＋―― は ｜ａ｜ ｜ｂ｜ ６ ４ （単位ベクトル）＋（単位ベクトル’）で ＜菱形＞の対角線を意味するベクトルとなります。 つまり、このベクトルは ａとｂのなす角度を二等分した直線上にある事になります。 大きさは内積を使用して表せますが、本問題では不要です。 任意の実数ｔをかけると、角度の二等分線上の任意の点をあらわします。 ａ ｂ ａ ｂ ｐ＝ｔ（―― ＋―― ）＝ｔ（ ――＋――） となります。 ｜ａ｜ ｜ｂ｜ ６ ４ ＰＳ ＜――＞はどうやって出したのでしょうか、 多分、罫線素片とは思いますが、ちょと驚きました。 この投稿では、貴殿の投稿をＣＯＰＹして書きました。 投稿後、試してみますが機会があれば教えて下さい。
お礼
ありがとうございます！ 図まで描いていただき本当にわかりやすかったです。 ひし形、と言われてひし形の性質を少し考えてしまった 自分が危ないな、、と感じましたが みなさんのおかげでなぞが解けました。 ―― は全角のダッシュを二回連続で打つと、 表示されるときには長いダッシュに見えるみたいですよ！
お礼
ありがとうございます！ 自分で図を書いてみたところ納得しました。