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- sumou111
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∫sin^n X dX =∫[sinX・sin^(n-1)X ] dX =∫[(-cosX)'・(sinX)^(n-1) ] dx =-cosX・sin^(n-1)X-∫(-cosX)・(n-1)・sin^(n-2)X・cosX dX =-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・cos^2 X dX =-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・(1-sin^2 X) dX =-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^(n-2)X・sin^2 X dX] =-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^n X dX] よって n∫sin^n X dX=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX より ∫sin^n X dX=1/n・[-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX ] となります。 部分積分を使い漸化式の形にします。
- stomachman
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......。 J[0]=integral dx = x J[1]=integral sin x dx = -cos x です。 J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2] をxで微分してみれば、(sin x)^n になるのが確かめられます。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
J[n] = integral (sin x)^n dx とおくと、 J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2] (n≠0) です。 n<0の場合はこの漸化式を逆向けに使います。 J[0],J[1]はわかりますよね。
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