- ベストアンサー
二項定理の基礎？
sacra_sakの回答
- sacra_sak
- ベストアンサー率46% (24/52)
これには |x|＜1 という制限がつきます．その参考書には書いていなかったのでしょうか? x にある数を代入したとき， 1/(1-x) = 1 +x +x^2 +x^3 +...... の左辺が有限確定値，右辺が無限和 (等比無限級数) ということですから，等号が成り立つには当然右辺が発散してはならず，公比 x について |x|＜1 ということは分かるのではないでしょうか．
関連するQ&A
- (1+1/ｘ)^ｘの展開
Ｗｉｋｉｐｅｄｉａで「二項定理」を調べると、「ニュートンの一般化された二項定理」というのがあります。 α＝ｘを代入して展開した、とみていいのでしょうか。 αは任意の複素数、となっていて、変数でもいいのかしら、と思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Tietzeの拡張定理
Tietzeの拡張定理のありがたみ(すごさ)が感じられる例を教えてください。 http://en.wikipedia.org/wiki/Tietze_extension_theorem での、 正規位相空間：X 閉部分集合：A 元の関数： f:A→R (拡張された関数： F:X→R) です。あまり予備知識が要らないものだと助かります。ご回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 二項定理を使う問題がわからない・・・・
典型的なパターン問題のようですが理解できません。よろしくお願いします。 (1)(x^2-2/x)^6の展開式のx^6の係数と定数項を求めよ。 二項定理より一般項は 6Cr・(-2)^r・x^12-2r/x^rとなるのはわかります。しかし、「x^6の係数は12-2r=6+rなので」r=2というのがわかりません。 定数項も「定数項は12-2r=rなので」r=4というのがわかりません。 なんとなく定数項の場合「分子と分母のxの次数をそろえて1にする」ようなニュアンスはありますが、x^6のことを考えるとまったくわからなくなります。 (2)(1-a^2+2/a)^3の展開式の定数項を求めよ。 似たような問題です。。。これも二項定理の拡張の定理（名前はいい加減）より、一般項は{(-1)^q・3!・2^r/p!・q!・r!}・a^2q-rというところまでは公式に当てはめるだけなので、わかります。これは条件より、(p,q,r)=(3,0,0),(0,1,2)ともとまります。ここも大丈夫ですが、この後定数項は（一般項に(3,0,0)を代入したもの）＋（一般項に(0,1,2)を代入したもの）＝-11となっています。何でこれらを足しているのでしょうか。(p,q,r)=(3,0,0),(0,1,2)なので定数項が2通り出てくるのではないかと思います。もちろんそんなことありえないのはわかっていますが、なぜ足すのでしょうか。 長文すみません。どうか、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理の拡張・変形
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86 を元に、二項定理の拡張・変形について考えています。 nが自然数のとき、 (x+y)^n=Σ[k=0,n]C(n,k)(x^k)(y^(n-k)) が普通の二項定理です。 αを実数として、|x|<1のとき、 (1+x)^α=Σ[k=0,∞]C(α,k)x^k はニュートンが考えたといわれています。 特別な場合として、負のベキは、 1/(1-x)^n=Σ[k=0,∞]H(n,k)x^k と重複組合せを用いて表されます。 また、項を増やした、 (x[1]+x[2]+…+x[k])^n=Σ[p∈N^k,|p|=n]C(n,p)x^p は多項定理といわれています。 指数のほうを和にすると、 x^(n+m)=x^n x^m 指数法則です。 で、x、yをいじくって、 Π[k=1,2]{cos(θk)+isin(θk)} ={cos(θ1)+isin(θ1)}{cos(θ2)+isin(θ2)} ={cos(θ1)cos(θ2)-sin(θ1)sin(θ2)}+i{sin(θ1)cos(θ2)+cos(θ1)sin(θ2)} といったものを考えると２つの文字の加法定理です。 n個の文字の加法定理をうまく記述するにはどうしたらよいのでしょうか？ Π[k=1,n]{cos(θk)+isin(θk)} または Π[k=1,n]{x[k]+y[k]} の展開ををうまく記述するにはどうしたらよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理の問題で・・・
二項定理の問題なので、表記が見にくくなってしまい、すいません； ｎとか０とか２は、二乗とかの、全て小さいものとして表記してます； 等式（１＋Ｘ）ｎ乗 （Ｘ＋１）ｎ乗 ＝（１＋Ｘ）２ｎ乗 を用いて、次の等式を証明せよ。 nＣ０二乗＋ｎＣ１二乗＋・・・＋nＣn二乗＝２nＣn この問題で、 （１＋Ｘ）n乗（Ｘ＋１）n乗 ＝nＣ０（nＣ０・ｘn乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn） ＋nＣ１Ｘ（nＣ０・Ｘｎ乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn） ＋nＣnＸn乗（nＣ０・Ｘn乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn) となるようなのですが、どうしてこんな式になるのかがさっぱりわかりません。 また、 （１＋Ｘ）n乗（Ｘ＋１）n乗の展開式においてｘn乗の項の係数は nＣ０二乗＋nＣ１二乗＋・・・＋nＣn二乗 で、また、 （１＋Ｘ）２n乗の展開式の一般項は２nＣｒＸｒ乗 よってＸｎ乗の項の係数は２nＣｎ 両辺のＸｎ乗の項の係数は等しいから、等式は成立する。 なぜ両辺のＸn乗の項の係数を調べるのでしょうか？ 本当にわかりません。アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ゴールドバッハ-オイラーの定理、累乗数引く1の逆数の総和は1
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%E2%80%93Euler_theorem を参照してください。 1を除く自然数の2乗、3乗、4乗、…を考えます。 4,9,16,25,… 8,27,64,125,… 16,81,256,625,… … それらを累乗数と呼び、その和集合を考えます。 P={4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, …} このとき、 Σ[p∈P]1/(p-1)=1 が成り立つことは、ゴールドバッハ-オイラーの定理と呼ばれるそうですが、その証明がわかりません。どうか教えていただけないでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数定理について教えてください
P(x)=x^3-7x+6 を因数定理を使って因数分解せよ。 〔解〕 P(1)=0 より P(x) は x-1 で割り切れる。 ゆえに P(x)=(x-1)(x^2+x+6) =(x-1)(x-2)(x+3) と例が載っているのですが、P(1)=0 の部分がわかりません。 解説には「定数項6の約数を順番に代入する」と説明が入っているのですが何故、定数項の約数を代入していくとP(x)=0 となるxがみつかるのですか？ 定数項の約数でない数を代入する必要はない、というのがなぜか分かりません。 それと、もし定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。 P(x)=0となるxを見つけるのにかなり時間がかかってしまいますよね。 これは総当り式に代入していく以外に方法はないのですか？ 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- テイラー展開と一次近似での剰余項の違いの謎
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC と ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 を見比べて思ったのですが 関数f(x)の一次近似(n=1の場合のTaylor定理,つまりfが一階微分可能な時のTaylor展開)は f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2 でこのR_2は R_2=f''(c)/2!(x-a)^2 …(*) となっているのですよね(∵Taylor定理)。 この剰余項には二階微分係数f''(c)が出てきてますが, 今,fは二階微分可能であるとは保証されてないのですよね。 従って,(*)とは書き表せないと思うのです。 しかし,Taylorの定理では剰余項は高階微分係数になっていて矛盾だと思うのですが, もしかして,fが一階微分可能で二階微分可能かは必ずしも保証されてないのであれば, fの一次近似式は f(x)=f(a)+f'(c)(x-a) ただし,c∈(a,x) となるのでしょうか? そして,ここではc=aではないので, f(x)≒f(a)+f'(a)(x-a) と書ける.. という解釈で正しいでしょうか? ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC でのfは二階微分可能であることが暗黙に仮定されてるのでしょうか? すいません。分かりやすくおおしえください。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答を有難うございます。他の定理の証明の中に出てきていたので |x|＜1 は書かれておりませんでした。よく見ると参考ＵＲＬにもそのように書いておりました。以後、気をつけます。