［QC］個別の製品の標準偏差からN個入りの製品の標準偏差を算出するには？

質問

品質管理分野で使用する標準偏差について教えてください。

何が目的かといいますと、菓子（ドロップ）の入り数を変更（たとえば10個→20個）
した場合の製品の重量管理値（ウェイトチェッカの設定値）をいくらに
すればよいのか知りたいのです。

個別の製品（ドロップ1個）の重量平均値M1とその標準偏差σ1が既知として、
（厳密にはσ1はたとえば100個の製品の重量測定値からの推定した母集団の標準偏差（分母が100-1））
この製品をN個詰めにした製品の標準偏差σNはいくらになりますでしょうか？
(1)簡単のためにN個詰めにする容器の重量を0とした場合。
(2)N個詰めにする容器の重量平均値をMp、容器重量の標準偏差をσpとした場合（pはpackageのp）。

(1)の場合はMN=N×M1，σN=（√N）×σ1　で良いのでしょうか？
(2)の場合はM=MN＋Mp，σ=(σp+σN)/（√2）　で良いのでしょうか？

どなたかご回答いただければ助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞それとも気のせいなのでしょうか？
気のせいです。（個々の菓子のばらつきが無相関であれば）Ｎの値に関係なく、なりたちます。

ばらつきの話は、標準偏差で考えるとややこしいです。分散（＝標準偏差の２乗）で考えましょう。

２つの無相関な確率変数XとYがあるとき、Xの分散をV(X)、Yの分散をV(Y)とするとき、
Z = a*X + b*Y　（a,bは定数）
の分散は
V(Z) = a^2*V(X) + b^2*V(Z)
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

つまり分散で考えると全体の分散は個々の分散積み上げになるということですね。
自分の中で考えていた時は、個々の持つお互いの誤差が打ち消しあうような気がして、
誤差の組み合わせの確率を考える必要があるのではないかと考え、訳がわからなくなっていました。

とても助かりました。

回答No.1

rabbit_cat

(1)はＯＫ。
(2)はＮＧ。正しくは、σ=√(σp^2 + σN^2) です。（平均はあってます）

お礼

早速の回答ありがとうございます。
なるほど、(2)の全体の標準偏差は標準偏差が平均値からの距離だと考えると、納得できました。

ちなみに(1)は自分で書いておきながらも、感覚的には（N倍にはならないことは）理解できているのですが、
なぜ√N倍になるのか納得できていません。
特にNが小さい（N=2,3）内は感覚的にうまく当てはまっていない気がすることがあります。
これはN→∞になるとσNが√N倍に漸近するということなのでしょうか？（Nが小さいうちは信頼性が低い？）
それとも気のせいなのでしょうか？
良い説明がありましたらお願いします。