標準偏差の掛け算について教えてください

質問

仕事で、データの検討の際に標準偏差の掛け算を知りたいのですが、
問題としては並列抵抗のばらつきが単体の抵抗が標準偏差σ[%]のとき、標準偏差の値はσで表すと、どうなるのかというものです。
　ちなみに直列抵抗は相関のない上記の単体抵抗２つの
　加算なので、（σ＋σ）/2[%]になります。
　並列抵抗ではいくつに標準偏差はなるのかという問題です。

回答No.5

rabbit_cat

って＃２は微分の計算が思いっきり間違っていました。
Δ(XY/(X+Y)) ≒ Y^2/(X+Y)^2*ΔX + X^2/(X+Y)^2*ΔY
でした。というわけで、結論もまちがっています。

正しくは、
並列抵抗は平均値が1/2倍、絶対ばらつきの標準偏差は√2/4倍になるので、
ばらつき比率の標準偏差は σ/√2 [%] になります。
ただし、これは、あくまで近似です。

お礼

ありがとうございます。微分積分の本で全微分について見させてもらいました。
　　この変微分の式から、並列の標準偏差を求めたものと思いますが、
　（平均の分だけ最後に/２をすると）。

　　直列の場合はσの式から足し算は√(σ^2+σ^2)=√2*σ
最後に２つ分の平均なので√2*σ ÷2でσ/√2[%]になります。

　　がこの√2/4までのプロセスがわかりません。

　　式に従うとY^2=σ^2に、X+Y=σ＋σ　X^2=σ^2
　　を代入してΔ(XY/(X+Y)) ≒ Y^2/(X+Y)^2*ΔX + X^2/(X+Y)^2*ΔY
　　の結果はσ^2/（σ^2＋σ^2）*ｄｘ＋σ^2/（σ^2＋σ^2）*ｄｙ
　　でこの後σ^2＋σ^2=√(σ^2+σ^2)=√2*σになり、
　　σ^2=σになる?(上記は標準偏差の足し算、掛け算の公式)
ということで√2/4になるということですか?

すいません途中式の内容がわからなく質問させていただく形になって
　しまいました。忙しい中申し訳ございません。

補足

すいません　下記の質問は間違いです。

　√2/4になるのはX、Yにσを代入して微分式は1/4 *dx +1/4 *dy
でｘ成分、Y成分で三平方の定理みたいに√{（1/4)^2+(1/4)^2}
　で出ました。　ありがとうございました。
　上司も納得してくれました。やはりσ/√2 がデータ値から
　近いみたいです。

　誠に親身に相談にのって頂き、ありがとうございました。

回答No.4

rabbit_cat

＞右辺側のY^2/(X^2+Y^2)、　X^2/(X^2+Y^2)がわかりません。すいませんがご迷惑をかけしますが、教えていただけるでしょうか？

多変数関数の全微分というのをご存知でしょうか。
f(x,y)を全微分すると、
df(x,y) = (∂f/∂x)*dx + (∂f/∂y)*dy
となります。これは、つまり
xが微少な量dxだけ変化して、yが微少な量dyだけ変化すすると、
f(x,y)は、(∂f/∂x)*dx + (∂f/∂y)*dy だけ変化するという式です。

参考URL：

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_3/zenbi.html

回答No.3

Ishiwara

直列の場合「標準偏差の足し算が可能」は間違いです。「分散の足し算は可能」です。

並列の場合は、厄介なので、抵抗の逆数（コンダクタンス：単位はモー（mho））で考えるとラクです。その場合には、電流の加法性があるので、やはり分散が足し算できます。

お礼

すいません。お忙しい中ご回答して頂きましてありがとう
　ございます。

回答No.2

rabbit_cat

＞ちなみに直列抵抗は相関のない上記の単体抵抗２つの
＞加算なので、（σ＋σ）/2[%]になります
これは、どういう計算ですか？
抵抗を直列にすると、平均値が２倍、絶対ばらつきの標準偏差は√2倍になるので、
ばらつき比率の標準偏差は、σ/√2 [%] になると思いますが。

並列抵抗の標準偏差は、厳密な計算は難しいです。近似値なら計算できます。
抵抗を並列させると、平均値は1/2倍になります。
Δ(XY/(X+Y)) ≒ Y^2/(X^2+Y^2)*ΔX + X^2/(X^2+Y^2)*ΔY
と近似すれば、絶対ばらつきの標準偏差は1/√2倍になるので、
並列抵抗のばらつき比率の標準偏差は √2σ [%] になります。

お礼

すいません　ご回答丁寧にしていただきありがとうございます。
　上記の(σ+σ)/2[%]はネット上で見つけたものです。

　すいませんが回答していただいたY^2/(X^2+Y^2)*ΔX + X^2/(X^2+Y^2)*ΔYの部分がわかりません。
　　左辺の部分は、並列の合成抵抗の式ですが、右辺側のY^2/(X^2+Y^2)、　X^2/(X^2+Y^2)がわかりません。すいませんが
　　ご迷惑をかけしますが、教えていただけるでしょうか？

回答No.1

ttttaaanni

自信ないですが参考まで。

並列にした時は　σ/2[%]　と思います。

補足
同じ規格の抵抗を直列あるは並列にしたときにどうなるか？　という話ですよね。
でないと、直列の、（σ＋σ）/2＝σ[%]も成り立ちませんので。

お礼

すいません。ご回答していただきありがとうございます。
　　測定した値のデータと再度検討させていただきます。