-PR-
締切済み

直行する二つの円柱の表面積

  • 暇なときにでも
  • 質問No.27875
  • 閲覧数1136
  • ありがとう数11
  • 気になる数0
  • 回答数4
  • コメント数0

お礼率 60% (3/5)

化学実験で逆浸透膜のスペーサー(ネット)の実験をやっています。ネットの表面積の測定が必要となりました。しかし直交部の解析的な解を求めることができず現在は近似解(直行する二つの四角柱の表面積)を用いてやっています。もし解析的な解がわかると、より精密な解析が得られるので非常に助かります。

「半径rの二つの直行する円柱が互いにrだけめり込んでいる場合の表面積。」
通報する
  • 回答数4
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 33% (3/9)

2つの円筒をA,Bとする。 A: x^2+y^2=r^2 B: x^2+(z-r)^2=r^2 A,Bの交わる曲面はしたがって、 y=z-r, y=-z+rとなる これと、Aの交線は短軸で互いに直交する楕円(長軸2√2 r, 短軸2r) となる。 したがって、もとめる面積は(√2)πr^2である。
2つの円筒をA,Bとする。
A: x^2+y^2=r^2
B: x^2+(z-r)^2=r^2
A,Bの交わる曲面はしたがって、
y=z-r, y=-z+rとなる
これと、Aの交線は短軸で互いに直交する楕円(長軸2√2 r, 短軸2r)
となる。
したがって、もとめる面積は(√2)πr^2である。
関連するQ&A


  • 回答No.2
レベル6

ベストアンサー率 33% (3/9)

ごめんなさい。先ほどの答えは勘違いしていました。 ただしいのは、 Area=4r^2∫^{pi/2}_0 x sin(x) dx=4r^2 だと思います ...続きを読む
ごめんなさい。先ほどの答えは勘違いしていました。
ただしいのは、
Area=4r^2∫^{pi/2}_0 x sin(x) dx=4r^2
だと思います
お礼コメント
page

お礼率 60% (3/5)

早速の回答ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-01-15 07:05:04
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

図がかけないので非常に厳しいんですが... 中心線が1点cで直交する、同じ半径rを持つ2本の円柱において、2本の中心線上で交点cからrの距離にある点(4つあります)において、それぞれの中心線に垂直にこの立体図形を切り取ります。このとき4個の円で囲まれたへんてこな立体Vが残るはず。 このへんてこな立体Vの側面(つまり切り取ったときに出来た4つの円Cの面積を除く表面積)を計算します。これで良いでしょうか? ...続きを読む
図がかけないので非常に厳しいんですが...
中心線が1点cで直交する、同じ半径rを持つ2本の円柱において、2本の中心線上で交点cからrの距離にある点(4つあります)において、それぞれの中心線に垂直にこの立体図形を切り取ります。このとき4個の円で囲まれたへんてこな立体Vが残るはず。
このへんてこな立体Vの側面(つまり切り取ったときに出来た4つの円Cの面積を除く表面積)を計算します。これで良いでしょうか?

 これは対称な曲面三角形16個から出来ており、すなわち、二つの円Cが接する点から、円筒の中心線を中心に90度回るまでの表面部分がその図形で、(二つの中心線に直交する方向から見ると直角三角形になります。)その面積は
S = integral{θ=0~π/2} (r^2) (1-cosθ) dθ (θ=0~π/2までの積分という意味)
より、
S = (r^2) (π/2-1)
です。従って、問題のへんてこな立体Vの側面の面積は16Sになります。

●老婆心ながら、ミクロな構造における表面積というのは、しばしば、幾何学図形のそれよりも遙かに大きくなります。わずかなでこぼこや傷があっても表面積は容易に数倍になるからです。従って、幾何学図形の表面積は、むしろ表面積の理論的最小値と考えるべきものです。
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

stomachmanです。ごめんなさい。 問題を良く読み直したら、さっきの回答はどうも違うことをやってたのに気が付きました。 半径rの2本の円柱がまともにクロスするんじゃなくて、半分だけかみ合う、という話だったんだ。 訂正です。 結果:この場合は「失われた表面積」を計算すればよい。クロスしたところでそれぞれの円柱から失われた表面積は、 S = 4(r^2) integral {θ=0~π/2 ...続きを読む
stomachmanです。ごめんなさい。
問題を良く読み直したら、さっきの回答はどうも違うことをやってたのに気が付きました。
半径rの2本の円柱がまともにクロスするんじゃなくて、半分だけかみ合う、という話だったんだ。

訂正です。
結果:この場合は「失われた表面積」を計算すればよい。クロスしたところでそれぞれの円柱から失われた表面積は、
S = 4(r^2) integral {θ=0~π/2} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
 = 4(r^2) integral {x=0~1} ((2-x)(1-x^2)x)^(1/2) dx
になる。(こんな積分、解析で解けなくったって、Excelで数値計算しちゃえばどってことないです。rに関係ない定数ですし。)
結局、まず交差を無視して沢山の円筒の表面積を求めておいて、あと、交差1カ所につき2Sだけ引き算してやればよい、ということになります。

その導出。
 一方の円筒の中心線の方から見た図を描きます。先ず半径rの円Cを描く。この円Cの中心Oが円筒の中心線。この円筒の上にもう一方が乗っかっている。乗っかっているやつの軸は、したがって円Cの接線Lですね。これを水平に描きましょう。この接線Lと平行に、円Cの直径Dを描きます。そして、円上の点pをLとDに挟まれた所に描き、その位置を、円Cの中心角θで表す。円Cの直径上Dにpがある場合をθ=0としましょう。(接線上に来るとθ=π/2です。)このとき、pから接線Lまでの距離は、r(1-sinθ)です。
 さて、こんどはもう一つ円C'を描く。これは乗っかっている方の円筒を軸の方から見た図です。水平に直径D'を描きます。いま、点pはこの円周C'上にあり、直径D'からの距離がr(1-sinθ)って訳です。そこで、pを通り直径D'に平行に線を描く。この線が円と交差する2点はpともうひとつあり、これをqとします。p~qの長さは、ピタゴラスの定理で2r√(1-(1-sinθ)^2) です。
 というわけで、rdθ×2r√(1-(1-sinθ)^2)をθ=0~πまで積分すれば良い。
S = 2(r^2) integral {θ=0~π} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
対称性を利用して
S = 4(r^2) integral {θ=0~π/2} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
となります。

 数式はご自分でもチェックしてみてくださいね。(stomachmanは計算間違いの常習者なんですよ、とほほ。)
お礼コメント
page

お礼率 60% (3/5)

stomachmanさん、たいへん丁寧な回答をありがとうございます。恐縮です。
文章だけなのに説明がとても丁寧だったので作図もとてもしやすかったです。
投稿日時 - 2001-01-15 05:44:00
このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


新大学生・新社会人のパソコンの悩みを解決!

いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ