安定条件について

質問

フィードバックの制御系の安定条件に”系の開ループ伝達関数のユニティゲイン周波数で位相が180度回らない”
というものがあります。これについて幾つか疑問があります。

これは任意の線形系における安定性の必要条件なのでしょうか、それとも
必要十分条件なのでしょうか？

また、オープンループ伝達関数の絶対値が1より大きいところで、180度以
上位相が回っても、ユニティゲイン周波数での位相を180度以下に戻せれ
ば安定ってことになります。この場合、180以上位相の回った周波数帯では
ポジティブフィードバックになっているわけですが、それでもなぜ
安定になるのでしょうか?定性的にどのように理解すべきか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

foobar

まず、訂正
＃１での「位相特性と、振幅特性は一対一に対応している」は不適切（というか誤り）でした。
振幅特性が決まれば位相特性が決まる、というのはいえるのですが、位相特性が決まったからといって振幅特性は一意には決まらない（定数K倍するという自由度が残っているので）です。
もうひとつ（こっちのほうが重要ですが）
「「利得1で位相遅れ180度未満」が成立していると、「利得>1の範囲では常に位相遅れ<180度」が成立する」
これは誤り（多分）です。（直流利得が非常に高いときには、一旦利得1以上で180度を超えて、そこから位相が戻り、利得1で位相遅れ180度以下、というケースがありえそう）
（ということで、＃１、＃２はとりあえず、見なかったことにしていただいて・・・）

安定判別に関しては、
「ナイキストの安定判別法」を参照いただければ、と思います。
（正確には、位相遅れ180度未満で、利得１を通過する、だけでは不十分で、周波数を変えて利得、位相を見たとき（軌跡を描かせたとき）に、「利得1、位相180度」の点の周りをどのように通過するか、で安定判別をする、という代物です）

で、位相遅れ180度で利得1以上の部分が存在するときの挙動に関して、定性的な解釈としては、、
例えば、ある周波数で開ループ利得が101で位相が180度遅れる場合を考えます。（利得が-101になっている)
この場合、定常状態では、
入力信号レベル=1, 出力レベル=1.01,
開ループの入力レベル=-0.01
という状況がありえます。(開ループの利得が負なのに、出力/入力は正になっている点に留意。開ループの出力レベルが入力を超えて、結果、開ループの入力での信号極性が反転している）
で、問題は、「こういう（定常）状態に安定に落ち着くことが出来るか」、ということになるかと。
位相180度を利得1以上で通過し（そのまま利得が下がる）かどうか、は、このような定常状態に、安定に移行できるかどうか、を示しているかと思います。

回答No.4

foobar

補足訂正
利得1で遅れ180度以下、利得>1で遅れ180度以上になる系
零点を使えば、出来そうですね。
伝達関数が10000*(s^3+10)/{(s^3+1)(s+100)}
みたいな形の系だと、そういう条件を満足しそうな、、。

（安定であること以外に零点に関する条件がからんでいるかも知れません。（最小位相遅れは、とりあえず考えなくてもよさそうな（位相遅れを増やす方向でしか作用しないので）））
（時間が取れたら、少し調べてみたくなりました。)

回答No.3

foobar

二次(遅れ）の系
(零点を持たない)二次の系だと、周波数の高いほうのコーナー周波数(ポール)での位相遅れは、135度程度(以下)になっているかと思います。(さらに周波数が高くなると、位相遅れが180度に漸近していく。このため、(遅れ要素の追加が無い)比例制御を適用する場合には、本質的に安定、というような話になったかと)

最小位相遅れ
通常の(安定な)アナログ制御(あるいはアナログ回路)では、最小位相遅れ（あるいは、最小遅れ時間)になっていたかと思います。(これに遅延素子やフルパスフィルタ（だったかな、伝達関数が (1-s)/(1+s)のような形のもの)をつけることで、ゲイン特性を変えずに、位相を遅らす方向での調整が可能になる、というような話だったかと思います）

利得を下げながら位相を進める
伝達関数の極が右半面にあるもの（例えば、 1/(1-s)であらわされるようなもの、ただし、これ自体は不安定）をつければ、可能だとは思いますが、、

回答No.2

foobar

#1に補足
振幅特性と位相特性が1:1に対応する条件として、もうひとつ
「安定な系(伝達関数の極が右半面には無い)」というのも必要だったかもしれません。

回答No.1

foobar

(最小位相遅れの系では）位相特性と、振幅特性は一対一に対応している（独立して変えることはできない）という制約があったかと思います。
で、この制約の元では、
「利得1で位相遅れ180度未満」が成立していると、「利得>1の範囲では常に位相遅れ<180度」が成立する、というのが言えたかと思います。

補足

回答ありがとうごさいます。
最小位相遅れ系というものが知らないのですが、
たぶん最小位相遅れの系でない場合を考えて質問しているのかも
しれません。

メカ物の制御の場合、系は必然的に２次のポールをもちますが、
ユニティゲイン周波数をこのポールより低いところにしなければ
ならないってことはありません。

このポールより高いところにユニティゲイン周波数をした場合
どうしても180度位相が回ってしまっていますが、こういう場合
ユニティゲイン周波数のところで位相余裕を持たせるような適当
なフィルタを使えば制御ができます。

で、この場合、2次のポールより高く、ユニティゲイン周波数より低い
周波数帯では180位相遅れてフィードバックされているように思うので
すが、なぜこれで安定になるのかという疑問です。
よろしくお願いします。