熱交換

質問

熱交換器などの計算で対数平均温度差を用いるのはなぜですか？

回答No.1

inara · ベストアンサー

対数平均温度を使わなければならないのは、熱交換器内部の流体の平均混合温度と壁面との温度差が、距離に対して直線的に変化していない場合です。流体同士の熱交換の場合は、その平均温度差が距離に対して直線的に変化していない場合です。

壁面温度一定の熱交換器の場合を考えます。
壁面温度をTw[℃]、流体の入口温度をT0[℃]、出口温度をT1[℃]とします。
式の導出はどのテキストにも出ているので、結果だけ書くと、熱交換器内部の流体の温度分布は
T(x) = Tw - (Tw - T0)*exp(-a*x/L) --- (1)
となります(aは他の物理量を含む式ですが、xに依存しないので定数と考えます）。
熱交換器の長さをL[m]とすれば、出口温度がT1なので
T(L) = Tw - (Tw - T0)*exp(-a) = T1
となります。この結果から
a = log{(Tw -T0)/(Tw - T1)} --- (2) → ここでlogが出現！
あるいは、
exp(-a) = (Tw -T1)/(Tw - T0) --- (3)
となります。

壁面から流体への全熱流束Q[W]は
Q = ρ*cp*U/L*∫[x=0～L] [Tw - T(x)]dx --- (4)
ρ：流体の密度[kg/m^3]、cp：流体の定圧比熱[J/kg/K]、U：流体の体積流量[m^3/s]
で表わされるので、式(1)を式(4)に代入して計算すれば
Q = ρ*cp*U/L*(Tw - T0)∫[x=0～L] exp(-a*x) dx = -m*cp* (Tw - T0)*[exp(-a) - 1]/a --- (5)
式(2)と式(3)を式(5)に代入すれば
Q =ρ*cp*U*(T1 -T0) / log{(Tw -T0)/(Tw - T1)}
となって、全熱流束Q[W]は対数平均温度(T1 -T0) / log{(Tw -T0)/(Tw - T1)} 比例する。

熱交換器内部の流体の平均混合温度と壁面との温度差が、距離に対して直線的に変化しているとみなせる場合は
T(x) = T0 + (T1 - T0)*x/L
と書けますので、同じ計算をすると、Q = ρ*cp*U*[Tw - (T0 + T1)/2] となって対数は出てきません。

お礼

ありがとうございました。