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無限級数の変形の仕方
killer_7の回答
- killer_7
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Σ_{n=1 to ∞} n(A_n+A_{n+1}) = Σ_{n=1 to ∞} n A_n + Σ_{n=1 to ∞} n A_{n+1} = B + Σ_{n=1 to ∞} n A_{n+1} だから,実質,Σ_{n=1 to ∞} n A_{n+1}をA, Bで表せれば十分で,解答では Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} n A_n - Σ_{n=1 to N+1} A_n が成り立つと言っているのですね. まず,この変形が正しいことは,実際に書き出してみれば明らか. Σ_{n=1 to N+1} n A_n = A_1 + 2A_2 + 3A_3 + ・・・ + (N+1)A_{N+1} Σ_{n=1 to N+1} A_n = A_1 + A_2 + A_3 + ・・・ + A_{N+1} と書いて,両辺を引き算すると,右辺は A_2 + 2A_3 + 3A_4 + ・・・ + NA_{N+1} になる.これは, Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} です. まずこのことを確認しましょう. つぎに,Σ_{n=1 to N} n A_{n+1}からA, Bで表せるように変形することを考えます. 添え字と係数を揃えれば(Σk A_kのようにすれば)よさそうだから, Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} = Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1} - Σ_{n=1 to N} A_{n+1} と(無理やり)変形する. 各項とも,A_2から始まる和だから,このままではA, Bで表せないが, たりないA_1を両方に加える,つまり, Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1} - Σ_{n=1 to N} A_{n+1} = (A_1 + Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1}) - (A_1 + Σ_{n=1 to N} A_{n+1}) としてみると,A_1は1 A_1でもあることから, A_1 + Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1} = Σ_{n=0 to N} (n+1)A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} n A_n, A_1 + Σ_{n=1 to N} A_{n+1} = Σ_{n=0 to N} A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} A_n を得る.したがって, Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} n A_n - Σ_{n=1 to N+1} A_n である.
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