ベータ関数の収束判定

質問

ベータ関数∫[0，1]x＾(p－1)＊(1－x)＾(q－1)dx　p＞0，q＞0　が収束するのか発散するのか、またどのような条件のときそのようになるのか教えてください。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

とりあえず
f(x)=x＾(p－1)＊(1－x)＾(q－1)
とおきます。

p≧1かつq≧1のときはf(x)は[0,1]で有限な値をとる連続関数
なので、[0,1]で積分可能なのはお分かりですね？

問題は、
(1)0<p<1のときf(x)→∞（x→0+0）（qはなんでも良い）
(2)0<q<1のときf(x)→∞(x→1-0）（pはなんでも良い）
となるときですね。
これらのとき、積分が発散する可能性があるので、調べなくては
なりません。

(1)のときは、0<1-p<1であり、
x^(1-p)|f(x)|=(1-x)^(q-1)→1（x→0+0）
となって、x^(1-p)|f(x)|はある近傍(0,ε)では有界で、
x^(1-p)|f(x)|＜c（定数）、すなわち、|f(x)|＜c/x^(1-p)
∫[0，1]1/x^(1-p)dx＝1/pで収束するので、
∫[0，1]f(x)dxは収束（絶対収束）します。
(2)も同様で、0<1-q<1で、
(1-x)^(1-q)|f(x)|→1（x→1-0）
から、|f(x)|は積分値が有限なc/(1-x)^(1-q)で
上から押さえられるので、収束します。

一般に∫(a,b)f(x)dxが収束するかどうかを考えるとき、
f(x)→∞（x→a+0）ならば、0<α<1として、
x→a+0のとき、(x-a)^α|f(x)|が有限な値に収束するかどうか
f(x)→∞（x→b-0）ならば、0<α<1として、
x→b-0のとき、(b-x)^α|f(x)|が有限な値に収束するかどうか
を判定します。
収束するようなα（0<α<1）があれば、積分は収束です。
ようするに、積分値が有限な関数と比較しているのです。
ただ、このようなαがないからといって、発散とはいえません。
（別の方法や、別の関数と比較するなど）

積分区間が無限の場合は、1/x^α（α＞1）と比較するのが基本です。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます

回答No.2

koko_u

問題になるのは x -> 0 の付近と x -> 1 の付近のみなので
p > 0 , q > 0 の時に x^(p-1) * (1-x)^(q-1) ～ x^(p-1) ( x -> 0 ),
x^(p-1) * (1-x)^(q-1) ～ (1-x)^(q-1) (x -> 1) として積分を評価、収束性を示すのが王道か。

>このことは、ベータ関数をガンマ関数に置き換えるとよく分かります。
これは多分収束性を示した後の話。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

Mr_Holland

ベータ関数は、p＞0，q＞0の範囲で収束します。
　このことは、ベータ関数をガンマ関数に置き換えるとよく分かります。
　　ベータ関数：Ｂ(p,q)＝Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)

　ちなみに、ガンマ関数Γ(x)は0＜x＜∞で正の値に収束します。

お礼

回答ありがとうございます

補足

そのことの証明するにはどうしたらいいでしょうか?ガンマ関数は使わずに証明したいのですが