関数列の収束について
- 関数列の収束についての疑問や困りごとについて解説します。
- 与えられた関数列が収束するかどうかを判定する方法について考えます。
- 距離が定義されていない空間に属する関数に収束する関数列について、収束判定を行う方法をご紹介します。
- ベストアンサー
関数列の収束について
[0,1]で定義された連続な関数g,hに対して距離dを導入します． すると，({[0,1]で定義された連続な関数},d)は，距離空間になると思います． ここで，[0,1]で定義された連続な関数の列(fn)(n=1,2,...)について，(fn)が，{[0,1]で定義された連続な関数}に収束するかどうかを判定したいときに疑問が生じました． まず，与えられた(fn)が，直感的にF=[1(x=0),0(0<x≦1)]の形に近づきそうだと思いました． そこで，(fn)がFに収束するなら，(fn)は{[0,1]で定義された連続な関数}には収束しない，と判定できると考えました． しかし，このFは，[0,1]で定義された連続関数ではありません． 距離が定義されていない空間に属する関数Fに収束しそうな関数列(fn)について，どのように収束判定を行えばよいのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします．
- marimmo-
- お礼率86% (671/773)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
文字通りにご質問の件を考えると収束判定はできません． たとえば有理数上で数列 1.4 1.41 1.414 1.4142 ... を考えても√2が有理数にないのでこれは有理数上では収束しません．（もちろん実数上では収束しますが．）感じとしてはこれと同じではないでしょうか．なので上の例でいう実数に相当するものを一旦つくらないといけません． したがって（ご質問に直接答えていませんが）次のこと考えるのが普通でしょう． 以下，(C([0, 1]), d) で元々の距離空間を表すことにします． 1. F の属している適当な C([0, 1]) 含む空間 X を取り，適当な距離 d' を入れる． 2. C([0, 1]) に d' で距離を入れる． 3. d と d' が同値な距離であることを確かめる． 4. (X, d') 上で収束判定をする． けれども目的が「収束しないこと」を示すだけなら，このように空間を広げて議論するのは牛刀をもって鶏を割くようなものです．もしあなたの仰るような関数に「近づき」そうなら，収束先の連続関数の存在を仮定し，原点付近で ε-δ 論法をすれば背理法で容易に証明できるでしょう． ## 蛇足ですが一般の位相空間を考えているときは収束列の収束先が一意とすら限らないので注意が必要です．
関連するQ&A
- 極限関数を求め、一様収束か判定せよ
大学のテストで出たのですが、どうやればいいかわかりません。 １、fn(x)=1/1+(x-n)^2 (-∞<x<∞) で定義される関数列｛ｆｎ｝の極限関数を求め、 一様収束か判定せよ。 ２、[0,1]上の関数項級数Σ(n=1～∞)｛n^2x/1+n^3x^2 - (n+1)^2x/1+(n+1)^3x^2 ｝ の極限関数を求め、一様収束か判定せよ。 どなたかよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 一様収束の意味でのコーシー列
「一様収束の意味でコーシー列になる」とはどういうことですか？ 関数列{fε(x)}(ε>0)について0<n<εのとき | fε(x)-fn(x) |<Mε (Mはxに無関係な定数） が成り立つとする。 このとき{fε(x)}(ε>0)はε→0で一様収束の意味でコーシー列になる とテキストに記述がありました。 これはどういうことですか？ ε→0で一様収束の意味でコーシー列になるとはどういうことなのでしょうか。 εδ論法を使った厳密な意味が知りたいです。 どなたか解説をお願い致します。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数列と漸化式の問題です
閉区間[0,1]上の関数列{fn(x)}n=0,1,2... を以下のように定める．f0(x)を[0,1]上で値1をとる定数関数とし，fn(x)(n=1,2,3,...)を漸化式 f[n+1](x) = 1+∫[0~x]fn(t)dt (0<=x<=1 , n=0,1,2...)で定義する． 以下の問いに答えよ． 問１ 漸化式からf1(x),f2(x),f3(x)を求めよ． 問２ 一般項fn(x)を求めよ． 問３ [0,1]の各点において，lim[n→∞]fn(x)=f(x)が成り立つようなf(x)を求めよ．
- 締切済み
- 数学・算数
- ノルムでは収束するが、各点では収束しない関数
空でない集合Xに対して、測度μを導入します。 集合X上の可測関数fであって、|f(x)|^pが可積分であるような関数、つまり、 ∫_X |f(x)|^p dμ(x) が有限である関数全体を考えます(p乗可積分な関数)。この集合(ベクトル空間)をL^p(X,dμ)と書く事にします。 f∈L^p(X,dμ)のノルム||・||_pを ||f||_p = (∫_X |f(x)|^p dμ(x) )^(1/p) (1≦p<∞) ||f||_∞ = ess.sup|f(x)| で定義します。ess.supは、ある測度ゼロの集合Nを除いた,X＼N上をxが動いた時の|f(x)|の上限(本質的上限)です。 ※このノルムに関してL^p(X,dμ)は完備になります。したががって、バナッハ空間です。 (必要なことは全て書いたつもりですが、必要なら補足します) ・質問１ lim[p→∞] ||f||_p=||f||_∞ でしょうか？ (有限次元の)普通のノルムの類推から成り立ちそうですが、何とも書かれていないので、気になります。 ※証明が複雑なら、結果だけで構いません。 ・質問２ 定理 1≦p<∞,f,f[n]∈L^p(X,dμ)の時、 ||f[n]-f||_p→0ならば、部分列{n_k}が存在してlim[k→∞]f[n_k](x) = f(x)がほとんどいたるところのxで成り立つ。 この定理で、『部分列{n_k}が存在して』は不可欠でしょうか？つまり、 ||f[n]-f||_p→0ならば、lim[n→∞]f[n](x)=f(x)がほとんどいたるところで・・・ ではいけないのでしょうか？ まぁ、この定理の直ぐ後の箇所で「部分列」が強調されているので、成り立たないのだとは思います。具体的に、どのような反例があるでしょうか？ こちらも詳細な証明は不要ですが、簡単な説明(イメージ的なことでいいです)をしていただけると嬉しいです。 なお、X,μは何でもいいのですが、できるだけ分かりやすい例がいいので、例えばX=[0,1],μ:ルベーグ測度などとしてください(別のでも構いませんが)。 pは一般の方がいいですが、面倒なら特別なp(例えばp=2)で構いません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一様収束
一様収束の問題をとりあえず示してみたのですが、あっているかどうか分からないので、分かる方がいたら教えてください。 ＊仮定＊ 関数列{fn}、{gn}はI上f,gに一様収束する。 １．{fn+gn}がI上f+gに一様収束する事を示す。 仮定より ∀ε1>0、∃N1（自然数） s.t. ∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1 ∀ε2>0、∃N2（自然数） s.t. ∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2 また、 |(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)| なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数） s.t. n≧max{N1,N2}⇒|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)|<ε1+ε2 ２．{fngn}がI上fgに一様収束する事を示す。 仮定より ∀ε1>0、∃N1（自然数） s.t. ∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1 ∀ε2>0、∃N2（自然数） s.t. ∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2 また、 |fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|fn(x)gn(x)-f(x)gn(x)|+|f(x)gn(x)-f(x)g(x)| ≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)| なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数） s.t. n≧max{N1,N2}⇒|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)|<|gn(x)|ε1+|f(x)|ε2 １．は多分問題ないと思うんですが、２．が結構不安です。 あと、ε-δ論法の証明の書き方って、こんな感じでいいんでしょうか？ そのあたりも分かる方がいたら教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一様収束しないことの証明
∑xe^-(nx)が0<x<1で一様収束しないことを示せ。 ∑は0～∞です。 sup|fn(x)-f(x)|=1/ne →0(n→∞)なので、一様収束していませんか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分の問題
[0,1]上の皮膚連続関数f(x)に対して、[0,1]上の関数列{Fn(x)}n≧0を以下により定める。 F0(x)=f(x), Fn(x)=∫0 x Fn-1(t)dt (n≧1) この時次の問いに答えなさい。 (1) f(x)=xとおいたとき、Fn(x)を具体的に求めなさい。 (2) n≧1の時、Fn(x)は単調非減少な微分可能関数であることと、不等式 Fn+1(1/2)≦ Fn+1(1)/2が成り立つことをそれそれ示しなさい。 (3)n≧1の時、各x∈[0,1]に対して不等式Fn+1(x)≦ Fn(x)xが成り立つことを示しなさい。 (4)n≧2の時、Fn+1(1)≦ 3Fn(1)/4を示しなさい。（ヒント：積分区間を[0,1/2]と[1/2,1]に分けて評価する） (5){Fn(x)}は[0,1]で0に一様収束することを示しなさい。 これらの問題です。 (1)は帰納的に求めていきたいです。 教えていただけませんか？お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます． 確かに，背理法で証明すれば，距離空間を拡張する必要はありませんね． この方法で試みてみます． これからもよろしくお願いします．