Zの元は何故±1だけ?

質問

本に書いてあったのですが
Zの元は何故{±1}だけなのでしょうか?
Zは多分剰余類の事だと思いますので
ZはZ1(={amod1;aは整数})のことだと思います。
-1mod1,1mod1∈Z1で
1mod1={x;x≡1(mod1)}
-1mod1={x;x≡-1(mod1)}
∀x∈{x;x≡-1(mod1)}を採ると合同式の定義から
x+1=1・k (kは整数)と書け、
∀x'∈{x;x≡1(mod1)}を採ると合同式の定義から
x'-1=1・k' (k'は整数)と書けると思います。
前者は
x-1+2=1・k
x-1=1・k-2
x-1=1・k-1・2
x-1=1・(k-2)
と書け、k-2も整数なので
x=1(mod1)で
x∈{x;x≡1(mod1)}
よって、
{x;x≡-1(mod1)}⊂{x;x≡1(mod1)}
{x;x≡-1(mod1)}⊃{x;x≡1(mod1)}
も同様に示せて、
{x;x≡-1(mod1)}={x;x≡1(mod1)}
が成立つ。
更に同様にして
{x;x≡2(mod1)}={x;x≡1(mod1)}
も言えるので最終的には
Z1={1mod1}
つまり、Z={1mod1}
となったのですが勘違いしてますでしょうか?

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

Zは整数環でしょうか。
そうしたらZ^*（Zの可逆元全体の集合）ではないでしょうか。
そうでしたらZ^*={±1}となりますが。

お礼

有り難うございます。

> Zは整数環でしょうか。
> そうしたらZ^*（Zの可逆元全体の集合）ではないでしょうか。
> そうでしたらZ^*={±1}となりますが。
つまり、本のZはZ^*の事ではないかと仰るのですね。
どうもそのようです。

Z5に対しては1,2,3,4
と書いてありますので
Zの単元は{±1}
という事みたいです。
ZはZ1の事ですはなくてただのZなのですね。
そしたら、Zの単元は±1だけですものね。