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高校数学で解けますか？？？
ある数α、βがあって最大公約数ｄはｄ＝αｘ＋βｙとなる整数ｘ、ｙが存在することを示すことはできますか？？
- wonderfulopporty
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以下のサイトに、いろんな証明があります。 参考にしてみてください。
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- proto
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前提として次の定理を知っていれば簡単に求めることが出来ます。 ある数α,β (α<β)があったとき。 β = α*q[1] + r[1] α = r[1]*q[2] + r[2] r[1] = r[2]*q[3] + r[3] … r[n-1] = r[n]*q[n+1] + 0 のとき、r[n]はα,βの最小公倍数dに等しい r[n] = d = gcd(α,β) 簡単に言いうと、大きいほうの数を小さいほうの数で割って、余りでまた割ってとしていったとき、割り切れたらそれが最小公倍数って定理です。 具体的にやってみましょう。30,18で 30 = 18*1 + 12 18 = 12*1 + 6 12 = 6*2 で最小公倍数d=6 ではここから逆に d = 6 = 30x + 18y となるx,yを探します。 18 = 12*1 + 6 より 6= 18 - 12*1 ---(*) 30 = 18*1 + 12 より 12 = 30 - 18*1 (*)に代入して 6 = 18 - 12 = 18 -(30-18) = 18*2 - 30*1 よってx=-1,y=2 もちろんこの作業はα,βがどのような数でも、同様に繰り返せば有限回数で終わります。 一番最初にあげた定理がわからなければ再度質問してください。
- totoro7683
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高校の知識で出来ます。以下証明を述べます。 αｘ＋βｙの形をしている数の中で最小の正の数をpとするとｐ＝ｄであることをしめせばよい。αｘ＋βｙの形をしている数はかならずｄでわりきれるからｐはｄでわりきれる。 αｘ＋βｙをｐで割ったあまりをｒとするとｒは０いじょうp未満だが、 ｒもαｘ＋βｙの形をしている数である。したがってｐの最小性より ｒ＝０でなければならない。だからαｘ＋βｙの形をしている数はかならず ｐで割り切れる。ということはαとβもｐでわりきれる。 だからｐはαとβの公約数なのでｄの約数。 ところがｐはｄで割り切れるのでｐ＝ｄでなければならない。 pの仮定よりαｘ＋βｙ＝ｄとなる整数ｘ、ｙは存在する。
- mii-japan
- ベストアンサー率30% (874/2820)
最大公約数ですから dの絶対値は、αおよびβの絶対値と等しいか、小さくなります ですから ｄ＝αｘ＋βｙ は、α、β、x、ｙの全てが正整数の場合は成立しません
- Trick--o--
- ベストアンサー率20% (413/2034)
α＝２、β＝３のとき ｄ＝１ １＝２ｘ＋３ｙとなるような整数ｘ、ｙは存在しない てこと？
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