任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには？？

質問

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

回答No.4

mirage70 · ベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の１辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の１辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は１辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を１辺とし、もう１辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
１点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の１点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の１点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を１辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

お礼

当方大人なのですが数学をもう一度勉強し始めているところなのでまだ中2までの知識しかありません。方べきの定理は高校生で習うみたいですね。もう少し勉強が進んで高校までいったら参考にさせてもらいますね。わざわざありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

すみません, #2 は間違ってますね....

お礼

いえわざわざありがとうございました。

回答No.3

ojasve

底辺と長さが同じならば等積なのですから、

(1)ABを底辺として高さが同じになる二等辺三角形をつくる。

(2)AC'を底辺として高さが同じになる二等辺三角形をつくる。

これなら、コンパスとものさしだけででけいますが。

補足

ABを底辺とした高さが同じになる二等辺三角形と、AC'を底辺として高さが同じになる二等辺三角形とが同じ面積になるのがわからないのですが。ABとACの長さが違うプラス高さは同じなので面積も違うと思うのですが。わざわざ解答してもらった解答の解釈のまちがいでしょうか？

回答No.2

Tacosan

基本方針は「まずいずれか 1つの角度を 60度にし, 次いでその角を頂角とする二等辺三角形を作る」でいくことにしましょう. △ABC が与えられたとして....
１．同じ面積で ∠DAB = 60度 の △ABD を作る:
C から AB に平行線を引く. A から線分 AB に対して 60度の角度を持つ直線を引く. 交点が D.
２．△ABD と同じ面積の △AFG を作る:
直線 AB 上に AD = AE なる点 E をとる. 線分 BE の中点を F とする. 直線 AD 上に AF = AG なる点 G をとる.
これでできる △AFG は面積が △ABC と等しい正三角形にならないかなぁ?

回答No.1

kaduno

ヘロンの公式ではダメですか？

面積＝√(s(s-a)(s-b)(s-c))　
ここでs=(a+b+c)/2

『元の三角形を使って』の中の『使って』の意味が厳密に分からないですが、s=(a+b+c)/2として元の三角形の周囲長を使っているので、一応『元の三角形を使って』という言葉に当てはまりますよね。

お礼

当方大人なのですが数学をもう一度勉強し始めているところなのでまだ中2までの知識しかありません。方べきの定理は高校生で習うみたいですね。もう少し勉強が進んで高校までいったら参考にさせてもらいますね。わざわざありがとうございました。