-3×-2はなぜ＋6になるのでしょうか。

質問

3×2は6。例えば３個の２倍で６個、これは理解できます。-3×2は-6。例えば３円足りない人が２人で－６、これも理解できます。ところが、-3×-2は＋6、これはどうも理解できません。どうしてマイナスとマイナスをかけるとプラスになるのでしょうか。また、どういう例えで理解すればよいのでしょうか。

回答No.12

redasurc · ベストアンサー

マイナス×マイナスはプラスになると「決めた」から、-3×-2は＋6になります。

例えば(-1)×(-1)を定義に従って計算すると。。。

　（－１）×（－１）
＝（－１）×（－１）＋０　　　　　　　　　｛ａ＋０＝ａ　より｝
＝（－１）×（－１）＋０×１　　　　　　　｛０＊ａ＝０　より｝
＝（－１）×（－１）＋（１＋（－１））×１｛ａ＋（－ａ）＝０　より｝
＝（－１）×（－１）＋１×１＋（－１）×１｛（ａ＋ｂ）＊ｃ＝ａ＊ｃ＋ｂ＊ｃ　より｝
＝（－１）×（－１）＋（－１）×１＋１×１｛ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ　より｝
＝（－１）×（－１＋１）＋１×１　　　　　｛（ａ＋ｂ）＊ｃ＝ａ＊ｃ＋ｂ＊ｃ　より｝
＝（－１）×０＋１×１　　　　　　　　　　｛ａ＋（－ａ）＝０　より｝
＝０＋１×１　　　　　　　　　　　　　　　｛０＊ａ＝０　より｝
＝１×１　　　　　　　　　　　　　　　　　｛ａ＋０＝ａ　より｝

と1×1になります。
つまりマイナス×マイナスはプラスになります。

このあたりは数学的な定義や公理なので物理的なもの（例えばお金やりんごの個数とか）に置き換えるとかえって混乱してしまうかもしれません。

お礼

なるるるるるるる…
こういう式で－×－がプラスになるとは…
誰かに説明してやらねばと思いつつも、覚えられるかどうか。

回答No.16

silverbear

掛け算ってかける数をかけられる数だけ足すって習いましたよね。
３×５＝３＋３＋３＋３＋３＝１５である　と。

と言う事は、「－３×－２」は－３をー２回足すと言うことですよね？
－２回足すという事は２回引くという事だと思います。つまり、
－３×－２＝－（－３）－（－３）＝３＋３＝６
では無いでしょうか？

間にワンクッション入れるとすると、
３×－２＝－（３）－（３）＝－６

自分でも微妙だなぁと思った部分ですが、
－（－３）＝３
というのは、０よりー３小さい数　と言えば分かるでしょうか？○ー（－○）と言う事の方が先に習うはずなのでこれはいいかな？と思っているのですが。

お礼

ありがとうございました。
なんとなくですが、色々な回答から数学的な考え方として理解できた？と思います。

回答No.15

Musicful-hearts

>>どういう例えでとの質問に
「マイナス×マイナス=プラス」とか言う回答、
ましてや「暗記」だとか「ルール」だとかいう無知な回答があり、少し腹立たしく思いました。
しかも「自信あり」とか書いてあり少し吹きました。
そして、わけもなく極端につっこんで回答をしているナンセンスな人も約1名。
ま、それはどうでもいいのですが、

>>西に－３ｍ、南に－２ｍの土地がある。この面積はいくらか、というような考えで良いのでしょうか。
距離に「マイナス」は存在しないので、そのような考えはやめたほうがいいと思います。
東に３ｍ、来たに２ｍの土地を平行移動させただけですしね。

例えを出すのであれば、やはり動いているもの、変化しているものだと、わかりやすいと思います。つまり、過去と未来が存在するもの。
たとえば、
後ろ向きに秒速-3ｍ走っている人は2秒前にどこにいたか、
毎分3リットル排水するパイプがある、2分前には何リットルあったか、
A君がバンジージャンプをした、毎秒3ｍ下に落ちる、2秒前の位置は、
Aちゃんは毎秒3枚ずつノートをちぎっていく、2秒前には今より何枚多かったか、
とか、わかりづらいのもありますが;^^

マイナス×マイナス=プラスの数式的な証明も多数存在します。しかも結構簡単なもの。

（－１）×（－１）
＝（－１）×（－１）－１＋１
＝（－１）×（－１）＋（－１）＋１
＝（－１）{（－１）＋１}＋＋１
＝（－１）×０＋１
＝１

（－１）×（－１）＝（－１）×（－１）＋０
＝（－１）×（－１）＋０×１
＝（－１）×（－１）＋｛（－１）＋１｝×１
＝（－１）×（－１）＋（－１）×１＋１×１
＝｛（－１）×（－１）＋（－１）＋１｝＋１×１
＝（－１）×｛（－１）＋１｝＋１×１
＝（－１）×０＋１
＝０＋１
＝１

(-a)*(-b)=-c a,b,c>0 と仮定すると
-a=-c/(-b)
=((-1)*c)/((-1)*b)
=c/b
負の数=正の数となるから、矛盾する
よって、負の数*負の数は正の数

などなど、
ふざけたくらいに突っ込んだ例え・証明が見たければ参考URL:負の数×負の数(数学＠２ｃｈ)をご覧ください。

参考URL：

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1140269499/

お礼

距離のマイナスは良くないですか。
距離にはマイナスがなく、時間にはマイナスがある、このような物理的な考え方なのでしょうか、私の頭脳の限界を超えてしまうようです。
証明式は先にもありましたが、なるほどという感じです。

回答No.14

aiueo95240

自然数の構成や演算の定義から厳密に説明しようとすると、大学ノート数ページになると思います。

ところで、自然数の和
+
の定義は、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
の回答で、

>　さて今度は+の定義です。+は二つの自然数を一つの>自然数に対応させる２変数関数ですから、本来
>+(n,m)
>と書くべき所を
>n+m
>と書いているに過ぎない、と考えます。で、+(n,m)を
>定義するために一つ補助的な3変数関数fを考えます。
>ここに
>●f(n,m,m)=n
>●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
>そして
>●+(n,m)=f(n,m,0)
>と定義します。

とありますが、自然数の積
×
の定義はどうなるのでしょう？

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225

お礼

自然数の積の定義…；
なんか良く分かりませんが、とりあえずありがとうございます。

回答No.13

noname#21544

例えようとするから難しいんじゃないでしょうか。
マイナス×マイナス＝プラス
マイナス×プラス＝マイナス
マイナス÷プラス＝マイナス
プラス÷マイナス＝マイナス
といった感じに暗記をしていいと思います。
教える立場なら、ルールだからと言えばいいのではないでしょうか。
全てを理解させるのって難しいですよ。

お礼

そうですね。
しかし、疑問に思うとなかなか寝れないもので。

回答No.11

8942

後ろ向きに秒速３ｍで歩いている人の２秒前は６ｍ前にいるんじゃない？

お礼

なるほど。
少し混乱し、不思議なイメージなりましたが、そういうことなのかもしれません。
ありがとうございます。

回答No.10

a-saitoh

2週間に1回くらいは出てくる質問ですので検索すればいっぱい回答があると思います．
私見ですが，マイナス×マイナスはプラスに「なる」のではなく「している」のだと思います．そう決めた方が便利だから．たとえば，正の数にとって成り立つ性質が，そのまま負の数にも成り立つ，など．

たとえば，整数の掛け算は足し算の繰り返しと理解することが出来ます．
a×(b+1)=a×b+a　になるわけです．この性質が，a,bがマイナスの数でも成り立つとすると，自動的に　マイナスの数×マイナスの数はプラスの数にしないといけません．

お礼

ありがとうございます。
数学的なルールということなのでしょうか。

回答No.9

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

マイナス×マイナス＝プラスというのは、結構不思議がられているようですが、さて、冷静に考えて、

プラス×マイナス＝マイナス

これはいかがでしょうか？
逆に言えば、プラス×マイナス＝マイナスが理解できると、マイナス×マイナス＝プラスも理解できるということになります。

ちょっと抽象的に言えば、

なんとか×プラス＝なんとかの符号
なんとか×マイナス＝なんとかの符号を逆にする

です。具体的には、回答の中にもありますね。
西×マイナス＝東　とか。
だから、
マイナス×マイナス＝（マイナスの符号をひっくり返して）プラスです。
この意味では、

マイナス×プラス＝マイナス
プラス×マイナス＝マイナス

は、同じように見えて、実は意味が違うことがわかります。

お礼

他の人の回答からも、東へマイナス３ｋｍは西へ３ｋｍだとする数学的なルールがあるというような感じがします。

回答No.8

noname#22222

+3×+2=+6・・・入金3円が2回で残高が6円増えた。
-3×+2=-6・・・出金3円が2回で残高が6円減った。
-3×-2=+6・・・出金3円が2回取り消しになって残高が6円増えた。

お礼

ありがとうございます。
２回取り消しになっても残金は０の気がしますので、結果として２回の取り消しは６円の得になったということでしょうか。

回答No.7

noburo

プラスとは「増えていく」、マイナスとは「減っていく」ものです。
減っていくものを考えます。
ある水槽に穴を開けます。１時間に３リットルづつ減っていきます。つまり「１時間に－３リットル」。では２時間後は、「－３×２＝－６」。６リットル減ってます。
では２時間前は今よりも何リットル増える？減ってる？
「－３（リットル）×－２（時間）＝・・・」

毎月３万円引き落とされる口座があります。２ヶ月たつと「－３×２＝－６」。６万円減ってますね。
では今より２ヶ月前は？「－３（万）×－２（ヶ月）＝・・・」

お礼

ありがとうございます。
なるほどという感じです。

回答No.6

xcx

力になれなくて申し訳ないですが非常に興味のある質問です。
数学のルールだとして解釈していますが詳しく説明の出来る方が
いればいいですね。

お礼

一人で考えていても分からないけど、こういうサイトがあると助かります。