y=log|tan(x÷2)|のビブン

質問

y=log|tan(x÷2)|のとき、y'=1÷sinxと解答にかいてありました。僕の教科書には解説がないので色々考えましたがなかなか解けません。どなたか解説いただけないでしょうか。

回答No.2

mmk2000 · ベストアンサー

シンプルに考えてみます。
合成関数の微分は大丈夫ですよね？
tan(x)'=1/cos(x)^2
です。
だから、
y'=tan(x/2)'÷tan(x/2)
={1/cos(x/2)^2÷tan(x/2)}×(x/2)'
={1/cos(x/2)^2÷sin(x/2)/cos(x/2)}×1/2
=約分して
={1/cos(x/2)sin(x/2)}×1/2
=1/2sin(x/2)cos(x/2)
=2倍角の公式を使って
=1/sin(x)

これじゃだめですかね？

回答No.1

debut

まず、y'={tan(x/2)}'/tan(x/2)ですよね。
ここで、半角の公式から、tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)なので、
tan(x/2)＞0とすれば、tan(x/2)=√{(1-cosx)/(1+cosx)}
すると、
{tan(x/2)}'={(1-cosx)/(1+cosx)}'/[2√{(1-cosx)/(1+cosx)}]・・☆
ここで、
{(1-cosx)/(1+cosx)}'={sinx(1+cosx)+sinx(1-cosx)}/(1+cosx)^2
　　　　　　　　　　=2sinx/(1+cosx)^2　なので、
☆は、={2sinx/(1+cosx)^2}/{2tan(x/2)}
　　　=sinx/{(1+cosx)^2*tan(x/2)}

よって、
　y'=sinx/{(1+cosx)^2*tan^2(x/2)}
　　　　　tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)を入れて、1+cosxを約分すると
　　=sinx/{(1+cosx)(1-cosx)}
　　=sinx/(1-cos^2x)
　　=sinx/sin^2x
　　=1/sinx

　そして、tan(x/2)＜0のときも同じ結果です。