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四面体の重心
tgbの回答
- tgb
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厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計 算で求められます。 １つの頂点をＡ、これに対する底面の面積をＳ、頂点Ａと 重心を結ぶ線と底面との交点をＢ、ＡＢの長さをｌ、Ａから Ｂにｘ座標を考え、ｘにおいて底面に平行な面でスライスし てその面をｓとします。ｓはＳに相似でその面積は ｓ＝ｋ・ｘ^２ （ｋ＝Ｓ／ｌ^２） 重心の位置をｘｇとすると ｘｇ・Ｖ＝∫ｓ・ｘ・ｄｘ＝∫ｋ・ｘ^３ｄｘ＝ｋ・ｌ^４／４ Ｖ＝∫ｓ・ｄｘ＝∫ｋ・ｘ^２ｄｘ＝ｋ・ｌ^３／３ これから ｘｇ＝３・ｌ／４ （ＡＢを３：１に内分） この計算は頂点Ａを固定し、底面Ｓが鉛直になるように置 いた状態を想定して、そこでモーメントが釣り合うと考える と出て来ます。 ｘｇ・Ｖ ： 重心から力Ｖ（体積<=>重量）によって支える ことによるモーメント ∫ｓ・ｘ・ｄｘ ： 三角錐の自重によるモーメント
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わかりやすいようでモーメント・・・。そういう解き方もあるのですね。文章だけでは難しい質問、答え方ながらもわかりやすい解説ありがとうございました。