対称式のテクニック？

質問

X＋Y　XY　の値が与えられている。
X^2+Y^2＝　このとき(X+Y)^2-2XYとすれば求められますよね。
それから、X^5+X^5=(X^2+Y^2)(X^3+Y^3)-・・・
って感じにするじゃないですか。
これってX+Y、XYだけであらわせられるようなのですが・・・。この手の問題が来たら、XとYをくくって二乗とか３乗！４乗はY^2＋X^2を全体二乗！って形で覚えればいいんでしょうか。
質問書いているうちに、なんとなくパターンが自分でよめてきちゃいましたが、そもそもどういうことが聞きたかったかというと、基本対称式と言われるもの←XとYとか２文字だけのやつでしたっけそれはXY　X＋Yだけであらわすことが可能らしいです。　X^2Y　とかなんで残らず消せるのだろうか・・・と疑問におもったのです。　まぁこれもこういうもんなんだって暗記してもいい気がしますが・・・　理解が深まったほうが暗記の定着にもつながるから質問させてもらいました、おねがいします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

＞一番下の式のようなときどうすればいいのでしょうか・・・。

係数でそろえればいいだけです。

5x＾4*y＋10x＾3*y＾2＋10x＾2*y＾3＋5x*y＾4＝5(x＾4*y＋x*y＾4)＋10(x＾3*y＾2＋x＾2*y＾3)＝5xy(x＾3+y＾3)＋10x＾2*y＾2*(x+y)＝‥‥

あとは出来るでしょう。

回答No.3

mister_moonlight

パスカルの三角形というのがあります。
下のＵＲＬを見てください。

例えば、（x＋y）＾5＝x＾5＋5x＾4*y＋10x＾3*y＾2＋10x＾2*y＾3＋5x*y＾4＋y＾5が直ぐ求められます。
従って、x＾5＋y＾5＝（x＋y）＾5-{5x＾4*y＋10x＾3*y＾2＋10x＾2*y＾3＋5x*y＾4}ですから、すぐ対称式で表されます。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/pascal/pascal.htm

お礼

なるほど、パスカルですね！　役立ちそうです
ありがとうございました！

補足

ちなみに、一番下のような式になったとき、Ｘ＋Ｙ　ＸＹの値が与えられてるとき、一番下の式は、5x^4yとかの項があるので、そこをどうすればいいのでしょうか・・・？　x^2*y^3＋x^3*y^2みたいな感じならx^2y^2(x+y)みたいにできるのですが・・・　一番下の式のようなときどうすればいいのでしょうか・・・。

回答No.2

springside

以下、２文字に限定します。

「XとYの式で、XとYを入れ替えても元の式と同じになる場合、その式は、基本対称式X+Y、XYで表すことができる。」

ということです。X^n+Y^nだけではなく、入れ換えて元と同じになればOKということです。
X^2Yはだめです（XとYを入れ替えるとY^Xとなって、元の式とは違うので）。
X^2Y+XY^2だとOKで、XY(X+Y)ですね。

例：
X^2+XY+Y^2=(X+Y)^2-XY
X^3+5X^2Y+5XY^2+Y^3=(X+Y)^3+2XY(X+Y)

お礼

なるほど！　対称式について理解できました！ありがとうございます

回答No.1

134

記憶違いでしたらすいません。

問題文で、　ｘとｙを入れ替えても、元の式と変わらないとき、ｘ＋ｙ、ｘｙ　で表現可能になったんじゃないかと思います。

例）X^2+Y^2＝Y^2+X^2

お礼

なるほど、ありがとうございます！