教えて下さい。

質問

もうすぐ期末考査があるというのに全然数学が分かりません（数学だけじゃないけど・・・。）
そこで、お聞きしたいのですが
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=３、BC=５，DA=8
角ABC=１２０°であるときAC,CDの長さを求めよ。

ほんとに分からないんです。
どなたか教えて下さい。
途中式もかいていただければ幸いです。
どうか宜しくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

△ABC で，辺AB，辺BC ，∠ABC がわかっているのですから，
余弦定理ほとんどそのままでしょう．
(AC)^2 = AB^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC)(cos 120゜)

四角形 ABCD が円に内接するのですから，∠ADC = 180゜- ∠ABC = 60゜
(AC)^2 = (AD)^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)(cos 60゜)
ですから，CD に対する２次方程式を解けばよいわけです．

お礼

回答ありがとうございます。
一個目の答えは分かったのですが二個目の答えがほんとに分かりません。
回答頂いたAC＾２とかってどこがACなのかがわかりません
ほんとにバカで申し訳ありません。
四角形のどこから順にABCDを付けているのでしょうか？
教えて下さい。お願いします。

回答No.4

siegmund

> 一個目の答えは分かったのですが二個目の答えがほんとに分かりません。
> 一個目の答えは７になりますよね？
> どこがACなのかがわかりません
あれ？一個目の AC の答が７なんだから AC はわかったんじゃ？

四角形の頂点は順に付けるのが普通です．
時計回りか反時計回りかは，両方あるみたいです．
いずれにしろ，AC は対角線ですね．

> 三角形ACDのなかでいれるっていうのは
それが私の書きました
(AC)^2 = (AD)^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)(cos 60゜)
です．
AC は一個目でわかったし，AD は８と与えられているから...

回答を送ろうと思ったら sevasu さんの２回目の回答が出ていました．
答は私と同じです．
A 点から長さ８で円周上の点というのは２箇所あるわけで(左右対称)，
その２点が２つの答に対応しています．
場合によってはどちらかが不適なこともありますが，
今の場合はどちらも大丈夫なようですね．

お礼

そういうことですか・・・。
バカで申し訳ありません。
どうもありがとうございました。

回答No.3

sevasu

再度、お答えさせて頂きます。
まず、自分のノートに大きく円を書いて下さい。
次に、その円に内接する四角形を書いて下さい。ここまでよろしいですね。（内接と外接は分かりますね）
次に、四角形の頂点にどこからでも良いですから、左廻りにＡＢＣＤと付けていって下さい。当然、Ａの反対側はＣにＢの反対側はＤになりますね。
次にＡとＣを結んで下さい。
このときにＡとＢとＣの三点で構成される角度が
∠ＡＢＣと書き、120°なのでよね。
この三角形の中の中で、余弦定理が成り立ちます。
(AC)^2 = AB^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC)(cos 120゜)
ここまで良いですか？
これは、教科書参考書に載ってます！

ちなみに、
これによると
ＡＣは9+25+2*3*5*0.5=19のルートですから、7になります

今度は、三角形ＡＣＤの中で
(AC)^2 = AD^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)(cos 60゜)
となり、
49=64+(CD)^2-2*8*CD*0.5
を解けばよいのです。
これを解くと。
CD=3，5になります。
2個、解が出てしまったけど、考え方は良いと思います。
僕もあとでゆっくりやってみます。
答えが違ってたらごめんなさい。

考え方を見て下さい。

お礼

はぁ二次方程式をつかうんですね。
すごい・・・。
わかりましたありがとうございました。

回答No.2

sevasu

三角形の2辺とその夾角が分かれば、もう1辺の長さが分かります。
（この公式は、あまりにも基本ですから自分で調べて下さい。）
従って、ＡＣの長さは簡単に算出されます。
今度は、ＣＤの長さですが、これも同じ公式から簡単に出てきます。
三角形ＡＣＤの中で式をいれてみてください。
但し角度がわからないですか？
これが、この問題のミソで、円に内接する四角形ですから
∠ＡＢＣの反対である∠ＡＤＣは180-120=60°になりますよね。
以上でできます。
途中式も書いて欲しいとありましたが、そこまで書いたらMAEAKIさんのためにならないので．．

頑張って下さい。

お礼

一個目の答えは分かったのですが二個目の答えが分かりません。
一個目の答えは７になりますよね？
そこから次、どうしたらいいのか分からないのですが・・・。三角形ACDのなかでいれるっていうのは
a＝A、ｂ＝D、ｃ＝Cと考えて良いんでしょうか？
教えて下さい。お願いします。