合成関数？

質問

f(x)をxについての整数係数の整式とし，g(y)をyについての整数係数の整式とする．xy＝1のとき常にf(x)g(y)＝1となるようなf(x)，g(y)を全て求めよ．

この問題において
f(x)＝a0xn乗＋a1x(n-1)乗＋…＋an
g(y)＝b0yｍ乗＋b1y(m-1)乗＋…＋bm
として，f(x)g(y)の係数について考えていくのかなぁって気はするんですけど，うまく解決できていません．
どうか，よろしく教えてください．

回答No.2

yuki0012 · ベストアンサー

g(1/x)=1/f(x)
として、左辺を通分し
g~(x)/x^n=1/f(x) (g~は整式)
両辺にf(x)x^nをかけて
f(x)g~(x)=x^n
この式からfとg~は単項式で、
g(1/x)=x^a,f(x)=x^b
とおくと
fg=1
から
a=-b
以上から
g(y)=y^b, f(x)=x^b
逆は明らかですね。

お礼

どうもありがとうございました！
よく分かりました．助かりました．

回答No.1

kohta83

f(x)=x,g(y)=y

f(x)=x^2, g(y)=y^2

f(x)=x^3, g(y)=y^3.....

はすべてその条件に合いそうな気がしたんですが、それは見当違いでしょうか？？

係数は０でも良いのですよね。