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合成関数?

f(x)をxについての整数係数の整式とし,g(y)をyについての整数係数の整式とする.xy=1のとき常にf(x)g(y)=1となるようなf(x),g(y)を全て求めよ. この問題において f(x)=a0xn乗+a1x(n-1)乗+…+an g(y)=b0ym乗+b1y(m-1)乗+…+bm として,f(x)g(y)の係数について考えていくのかなぁって気はするんですけど,うまく解決できていません. どうか,よろしく教えてください.

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g(1/x)=1/f(x) として、左辺を通分し g~(x)/x^n=1/f(x) (g~は整式) 両辺にf(x)x^nをかけて f(x)g~(x)=x^n この式からfとg~は単項式で、 g(1/x)=x^a,f(x)=x^b とおくと fg=1 から a=-b 以上から g(y)=y^b, f(x)=x^b 逆は明らかですね。

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質問者からのお礼

どうもありがとうございました! よく分かりました.助かりました.

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f(x)=x,g(y)=y f(x)=x^2, g(y)=y^2 f(x)=x^3, g(y)=y^3..... はすべてその条件に合いそうな気がしたんですが、それは見当違いでしょうか?? 係数は0でも良いのですよね。

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