順列の問題（基礎）

質問

高校生のいとこに数学を教えています。
順列の基本問題、
「０、１、２、３、４の数字から異なる三個の数字を使ってできる３桁の整数はいくつありますか」
という問題です。
私は基本的に、　４×４P２＝４×４×３＝４８　通り
と解きましたが、別解が載ってあり、式の考え方が全く分かりません。
どなたか宜しくご教授下さい。

別解
５P３－（４P1×３P１）＝６０－１２＝４８　通り

回答No.1

muroto_misaki · ベストアンサー

5P3・・・5つの数字を3つ選んで並べた場合の組み合わせ
（即ち組み合わせの全体）

4P1×3P2・・・0が先頭に来て、残りの2つの数字を選んだ場合の組み合わせ

なので、
組み合わせの全体から0が先頭に来るものを引けば
0が先頭に来ないもの（つまり3桁の数字）の数がわかりますね。

数学的には余事象といいます。

お礼

ありがとうございました。言い回しが分かりやすかったです。

回答No.2

noname#21219

余事象の考え方を別解では用いているのでしょうけど
自分なら5P3-4P2=48とします。つまり、全体：5P3,
３桁目に0を置き、残り４つから2個取ってきて並べる場合の数：4P2です。
別解では、３桁目を0と
頭の中で置いておくのは変わらないのにわざわざ2桁目
と1桁目を別々に取り出すという無駄なことをしています。

お礼

確かにそうですね！そう考えると、すっきり理解できました。どうもありがとうございました。