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π／４ の近似値について
「数学が育っていく物語」（１９９４年発行）の「第 週 極限の深み」に１－１／３＋１／５－…がπ／４に収束することが紹介され、「この近づき方がどれほど複雑化は、最近アメリカの雑誌に載ったこの数列の最初から５０万項までの和をコンピュータを使って求めた結果を見てもわかる。」とあります。大変興味深い結果なのですが、この元の雑誌を見てみたいと思っています。どなたかご存じの方、教えて下さい。
- tarobe_san
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Fraudsの部分は http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/local/omlink12/html/node1.html で見ることができます。また雑誌は多分 J. Borwein, P. Borwein & K. Dilcher ; Pi, Euler numbers and asymptotic expansions , American Mathematical Monthly 96 (1989) 681-687 だと思います。すみませんでした。
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- grothendieck
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この雑誌は D.H. Bailey et al.; Ramanujan, Modular Equations and Approximations to Pi or How to compute one hundred digits of Pi, American Mathematical Monthly, 96, (1989), 201 の15 Appendix: Frauds にある議論のことではないでしょうか。この論文はWeb上でも見ることができます。
お礼
回答ありがとうございます。 その雑誌をWeb上で見るにはJSTORのライセンス登録が必要のようですが、私個人も勤務先も登録しておりません。 幸い近くの大学の附属図書館に所蔵されており、見てきましたが（書庫資料で平日のみ閲覧可なのでお答えから何日も経ってしまいました）、Appendixがありません。（１Introductionから９Resourcesまでなのです。）同じ論文がWeb上でReprintされているのを見つけましたが同様でした。JSTORで見るとAppendixがあるのでしょうか。
- adinat
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こんにちは。僕も同じ興味を持ったことがあって、去年の暮れにここに質問をさせていただきました。Mathematicaという数学のソフトウェアがあって、実際に10^16項まで計算させた結果を参考urlにも載せてあります。実はこの数列の和を特定の桁で打ち切ったとき、真の値π/4との誤差は、数列の和で打ち切った項数nによる漸近展開公式が存在します。そしてそのことがたとえば50万項までの和が、真の値とずれてしまった桁のあとも真の値が出てくる理由になっているのです。より詳しいことをお知りになりたければ、たとえばmathwolrdのサイトなどを参考に、secant数などを調べられたらと思います。なお公式というのは、 π/4 = [Sum_{k=0..n-1} (-1)^k/(2*k+1)] + 1/2*[Sum_{k>=0}(-1)^k*E(k)/(2*n)^(2k+1)] というものです。記号の意味は容易に想像されるだろうと思います。E(k)がsecant数、またはオイラー数と呼ばれる数列で、最初の数項は1,1,5,61,1385,50521,2702765,199360981,19391512145,…となります。sec x:=1/cos x のマクローリン展開の係数に表れるものと同一になるそうです。 なお元の雑誌というのは僕も読んだことがないのでよくわかりませんが、コンピュータの計算能力の進歩というのは著しくて、僕のコンピュータでも一瞬にして1京項ぐらいまでの足し算ができてしまうのですから、当時の記事は今から見るとかなり古めかしいものに思えるのかも知れません。もしご覧になったら文献名を教えていただけるとうれしいですね。
お礼
回答ありがとうございます。 オイラー数というのは知らなくて勉強になりました。 それにしても１京項までを一瞬というのはうらやましい感じです。私の機械は随分遅いようなので。
- keiryu
- ベストアンサー率31% (46/145)
これは著者である志賀浩二さんに聞くのが一番早い。住所は岩波に聞けば教えてくれるでしょうし、ナンなら岩波に直接聞くのもいいかも。
お礼
回答ありがとうございます。 確かにその通りですが、「教えて！goo」が手軽な感じなのでここに質問をしてみました。ここでの回答や、自分で出来る範囲で調べてみてだめなら実行してみます。
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お礼
２度にわたる御回答有り難うございました。 おかげですっきりと解決しました。