ｅは作図できますか

質問

πはコンパスで円を描いて円周を紐で測ればますし√ｎの作図法も有名です。ｅについてはどうなのでしょう。面積で示す方法はどこかで見た記憶があるのですが図形的に示す方法を教えてください。

回答No.4

pyon1956 · ベストアンサー

これは長さeの曲線を作図するという話でしょうか？
それとも長さeの直線を？

まず円と直線以外の曲線はコンパスと定規以外の特殊な道具を用いない限り作図は不可能です。で、長さeになる曲線（の一部）の作図法というのは残念ながら知りません。カテナリーにせよ、代数曲線でないから機械を使っても難しいかも。
なお「πはコンパスで円を描いて円周を紐で測れば」というのはヒモで測っている時点で作図とはいえません。つまり長さπの直線はなおコンパスと定規では作図不可能なんです。さらにヒモで測る、ということはヒモの太さとかも考慮に入れねばならず、そもそもπの作図とはいえません。ただし、長さπの曲線であるということはできます。

一方、コンパスと定規では、#3さんが仰る
「ぶっちゃけた話，
ルートと加減乗除で表せるかというのを考えると
大体見当はつきます．
まあ，あくまでも見当でしかないですけど」
というのは少々舌足らずで、コンパスと定規で作図できる長さの直線はこれのみです。（√の中に√がはいっているとかは問題なし）たとえ代数的数でも2次の代数的数体以外は作図不能であり、超越数であるeはもちろんのこと、2の立方根とかもコンパスと定規のみでは作図できません。

お礼

視覚的に認められるという意味で作図と書いてしまいました。曲線でも面積でもよろしいのですが、ある関数のグラフを作図してという意味で考えていたので、私は混乱しているのかもしれません。ご教示有難うございました。

回答No.3

kabaokaba

「作図」という言葉が微妙なのですが
とりあえず

・定規は線分をひくだけ（ただし，長さの制限はない）
・コンパスは与えられた長さの半径の円周をかくだけ

という古典的な正統派の意味でいきましょう

まず，円周率πはこの意味では作図できません
つまり，与えられた長さのπ倍の長さの線分は
作図できません．
もし作図できたと仮定すると
面積がπの正方形が作図できてしまいます．
長さπがあればπの平方根は作図可能ですから．
しかし，面積がπの正方形は
作図不可であることあることが
証明されてます（円積問題）．
これはπが超越数であることによります
（1882年リンデマン）．
もちろん制限を変えて「円周」でもよい
とするならば，その意味では作図可能です．

次に本題のeですが
NO.2さんは「無理数だから」とおっしゃられてますが
これは「超越数だから」の勘違いでしょう
ルート2は無理数ですが容易に作図可能です．
で，eですが超越数なので作図不可です
ただし，制限を変えればなんとか・・・

まずカテナリをつくります
カテナリのx=0からx=1にあたる部分の長さは
1/2(e-e^{-1})です（曲線ですけどね。。。）
一方，カテナリのx=1のときの値は
1/2(e+e^{-1})です
これらの値を足せばちょうどeです
カテナリと曲線の長さは紐ではかるという操作を
許容すれば，足し算の作図でeがでるというわけです．

この方法あんまり現実的ではないです（苦笑）ので
まあ，普通は近似でしょうが
こういう考察もあるということで．

ちなみに「厳密な意味で作図可能かどうか」は
基本的に
・線分と線分（一次関数どうし）
・線分と円（一次関数と円）
の組合せの連立方程式の解として表せるか
ということに他ならないので
ぶっちゃけた話，
ルートと加減乗除で表せるかというのを考えると
大体見当はつきます．
まあ，あくまでも見当でしかないですけど

お礼

どうも貴重なご教示をありがとうございます。作図というあいまいな書き方をしたことをお詫びいたします。

回答No.2

tatsumi01

e は無理数ですから、コンパスと定規だけでは (単位長の e 倍の長さを持つ) 線分を作図することはできません。
有理数をコンパスと定規で表すことはできるので、近似的な数値でよければいくらでも精密に作れます。
たとえば 2718/1000 なら、直線上に単位長の 2718 倍をコンパスでとります (C とする）。原点 (A) を通る別の直線を引き、任意の長さの 1000 倍をコンパスで取ります (B とする)。あとは三角形 ABC の中に平行線を引いて比例で 2.718 倍ができます。
もちろん、「いくらでも精密に」というのは原理の話で、実際にコンパスで 2718 倍も取ったら誤差がとんでもない値になるでしょう。

お礼

早速試してみたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.1

kenmogakeu

eだけの作図でしょうか？それなら、それなら、ｘ軸に平行な線で、y軸と、約２．７１８辺りで交わります。
もし、e^xを書きたいのであれば、y軸と１で交わり、左上から右下の方に滑らかなカーブを描くように書きます。しかし、e^xは負にはならず、ｘが無限大にいくにしたがって、x軸に接近するように書きます。

お礼

どうもありがとうございます。私には大変難しいのですが、努力してみたいと思います。