- ベストアンサー
四角錘の体積
「 四角錘O-ABCDにおいて、高さOH上に、 OK:KH=1:2 となる点Kをとる。Kを通り底面に平行な平面で、この四角錘を上下2つに分けた。 下の部分の立体の体積が52cm3のとき、上の部分の 体積を求めなさい。」 という問題を、中学生の甥っ子に質問されたのですが、うまく説明できないばかりか、自分の答えにも自身がもてません。高さの比だけが与えられているので、高さをＸとおいて計算しようとしたのですが、結局うまくいきませんでした。入試も近く焦っているみたいなので、解決してあげたいんです。力を貸してください。お願いします。
- zhon
- お礼率100% (4/4)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数13
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
答えを教えるとルール違反になるので、ヒントを。 まず、 Kを通り底面に平行な平面に分けると、上の四角錐が、切る前の四角錐と(大きさは違えど)同じ形になります。 これを証明させる意図の問題ではないので、イメージとして納得できればよいです。 でこれが納得できたら次、 「同じ形の立体図形(相似な立体図形)では 長さの比がa:b のとき、体積の比はa^3:b^3になる。」 という基本事項(教科書にも載っていると思います。) これを用いて、切る前の四角錐大と四角錐小を考えましょう。 （四角錐大の高さ）：（四角錐小の高さ）＝３：１ よって （四角錐大の体積）：（四角錐小の体積）＝３＾３：１＾３＝９：１ と、いうことは、 （四角錐小の体積）：（切断後の下の部分の体積） ＝（四角錐小の体積）：（四角錐大の体積）－（四角錐小の体積）＝１：８ です。 あとは比を立てて解くだけです。
その他の回答 (3)
底面積×高さ÷３で体積が出るわけですから、底面積を求めればいいのでは。四角スイなので、互いの底面は相似になっているはずです。ということは、相似比が１：３なので、面積比は１：９になります。それに高さの比も１：３ですから、体積比は１：２７になりませんか。 で、下の部分だけで５２cm3なら、上の部分の体積は、５２÷（２７－１）＝２cm3ということになると思います。
お礼
わかりやすい説明ありがとうございました。
関連するQ&A
- 円錐の体積と表面積
私は今、数学の相似比を使った問題で悩んでいます。 『ＯＨを高さとする円錐を、ＯＨの中点Ｍをとおり底面に平行な平面で切り、上部の小さい円錐を取り除いたものとする。 底面の半径が６ｃｍ、ＭＨの長さが４ｃｍのとき、この立体の体積を求めよ。また、この立体の表面積を求めよ。』 体積はこのやり方で求めました。 Ｖ＝（１/３）*π*６*６*８＝９６π １：８＝Ｘ：９６でＸ＝１２π ９６π－１２π＝８４π ８４πｃｍ3 表面積も同様に片方の面積を求め、もう片方を出し、その答えを引いて、丸の面積分足したところ、答えは８１πになりました。 しかし、解答シートを見ると、９０πになるのです。 どうやったらそうなるのか分かりません。 よければ求め方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相似な立体の体積比（数学IA) について教えてください。
相似な立体の体積比（数学IA) について教えてください。 数学IAの問題で 添付図の立体は、底面の半径が4cmの円錐を底面から2cmのところで底面に平行な平面で切ってできたものである。この立体（太線）の体積を求めよ。 という問題です。解答によると元の円錐の体積をＶとすると求める立体の体積Ｓは S={1-(3/4)^3}V となっています。{1-(3/4)^3}この部分が分かりません。何故このようになるのか教えて頂けると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 四角錐から切り取った立体の体積
「OA=OB=OC=OD=6、AB=CD=6、BC=AD=4の四角錘O-ABCDにおいて、辺OA、ODの中点をP、Q、辺AB、DCを2:1に分ける点をR、S、とする。この四角錘を平面PRSQで切断し、頂点Aを含む方の立体の体積を求めよ。」という問題がどうしてもわかりません。解法の入り口というか、ちょっとしたヒントだけでも構わないので教えていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中学受験、立体の切断の問題を解説してください
某中学校の入試問題です。解答はあるのですが、解説がないため理解できません。 どうか考え方を教えて頂きたく、よろしくお願いいたします。 ≪問題≫ 図のような底面が正方形で、各辺の長さがすべて等しい正四角すいがあり、 辺AB、AC、AD、AEの真ん中の点をF、G、H、Iとします。 この時、次の問いに答えなさい。 （１）三点F、C、Eを通る平面で切断します。このとき、点Bを含む方の立体の体積と 元の正四角すいの体積の比をもっとも簡単な整数比で求めなさい （２）三点F、C、Eを通る平面で立体を切断し、続けて三点G、B、Dを通る平面で立体を切断します。 このとき、辺BCを含む立体の体積と、元の正四角すいの体積の比をもっとも簡単な整数比で 求めなさい。 （３）三点B、G、Hを通る平面で立体を切断します。このとき、点Aを含む方の立体の体積と 元の正四角すいの体積比をもっとも簡単な整数比で求めなさい。 ≪解答≫ （１）１：４ （２）１：１２ （３）３：８ （１）のみ自力で解けました。 Bを含む方の立体（三角すい）は底面積が元の立体の1/2、高さが元に立体の1/2なので1/2 1/4：１となり、整数比にして１：４・・・ということですよね？ （２）、（３）はお手上げです。どうか教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 四角すいや正四面体等をうまく描くコツ
塾で中学生に数学を教えているのですが、 立体、特に正四角錘や正四面体が どうにもうまくかけません。 どちらも頂点から底面に垂直に下ろした、高さにあたる部分が見えるように書きたいのですが、 側面の辺とのバランスがおかしくなってしまいます。 こういった立体をうまく描くコツみたいなものがあったら教えて欲しいです。
- 締切済み
- 絵画・イラスト・デザイン
- 円錐の体積の問題、求め方
連投すみません…! 求め方が不安になってきたので、これで合っているか見てくださいorz OHを高さとする円錐がある。OHを２：１に内分する点をMとし、 Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=３cm、底面の半径を９cmとするとき、 HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。 【A】 OHを高さとする円錐の体積を１とすると OMの高さは２/３ OH：OM=１＾３：（２/３）＾３＝１：８/２７ OHを高さとする円錐の体積 ９＾２×π×９×１/３ 円錐台の体積は （１－８/２７）×（９＾２π×９×１/３） ＝１９/２７×２４３π ＝１７１π １７１π cm＾３ 板書で当たっているので過程がしっかりしてないと駄目なんです… 時間のある方、手助けよろしくお願いします。 http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa7245555.html←前の質問
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。さっそく教えてあげたいと思います。