因数分解のポイントは？

質問

（問題）
x^4-7x^2y^2+y^4を因数分解しなさい。

答えは (x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)

どこに着目して、因数分解を行えばよろしいのでしょうか？解り易い因数分解の方法があれば、教えてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

あけましておめでとうございます。

この場合は、先頭のｘ^4と最後のｙ^4をみて(ｘ^2＋ｙ^2)^2の展開式を
考えます。この展開式は、ｘ^4＋２ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4になるので、
　ｘ^4－７ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4
　　※項の順を変えながら、２ｘ^2ｙ^2を加えて、引いてを同時にすると
　　＝ｘ^4＋ｙ^4＋２ｘ^2ｙ^2－２ｘ^2ｙ^2－７ｘ^2ｙ^2
　　※前の３項は(ｘ^2＋ｙ^2)^2と因数分解でき、後ろの２項はまとめて
　　＝(ｘ^2＋ｙ^2)^2－９ｘ^2ｙ^2
　　※後ろの項の９ｘ^2ｙ^2は(３ｘｙ)^2とできるので
　　＝(ｘ^2＋ｙ^2)^2－(３ｘｙ)^2　　と変形できます。
　ここで、ｘ^2＋ｙ^2＝Ａ，３ｘｙ＝Ｂとおくと、この式はさらに
　　＝Ａ^2－Ｂ^2　　　　　から
　　＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ－Ｂ)　　
　と因数分解できて、Ａ，Ｂをそれぞれｘ^2＋ｙ^2、３ｘｙに戻すと答え
　の式が導き出せます。

お礼

あけましておめでとうございます。
今年も宜しくお願い致します!(^^)!
最初、『2x^2y^2を加えて、引いて・・・』という事を何故行うのかが解りませんでしたが、文章の前後左右を読み直し、理解致しました。
debutさんの回答は解り易いですね。
私があまりにも解らないので、とても丁寧に回答していただいているのだと感謝しております。
このところ、夜なべが続いて風邪気味です・・・。
debutさんも風邪には気をつけてください。