SU(3)、SU(n)の物理的な意味

質問

量子力学の教科書(シッフ)で勉強していたところ、

全角運動量の行列表現を求めていったら回転群O(3)がSU(2)の二価になってた。
…とここまではいいとして、いきなり「SU(2)はSU(3)の部分群である」 って述べられてSU(3)の数学的な性質云々の話に進んでるんですが、SU(3)が物理的に何を意味しているかが書かれてません。調べてみても求める答えが見つかりませんでした。
何を意味してるのか(どんな操作?)とか分かる方教えて下さい。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

SU(3)はゲージ理論まで行ってはじめて使うということはないと思います。歴史的にはSU(3)が使われるようになったのはクォーク模型が最初と思います（厳密に最初ではないかもしれないが、広く使われるようになったのは最初）。SU(2)の基本表現の2個のベクトルをスピン1/2の上向きと下向きに対応させるのが量子力学の角運動量の理論でした。同じ様にSU(3)の基本表現の3個のベクトルをup, down, strange の３種のクォークに対応させて角運動量の合成と同じ様に合成すると実在するハドロンをよく再現するのです。QCDでは理由は完全に理解されていないが、カラー１重項だけしか出てこない、すなわちSU(2)の合成スピン０に相当するものしか出てこないので、群論を使う余地はあまりないのではないかと思います。

お礼

なるほど、クォークはまだ未習なので、具体例が出てくるのはもう少し後になりそうですね。
SO(3)の元が軌道角運動量Lを生成元とする無限小回転から導かれて、SU(2)の元が全角運動量J(j=半奇数)を生成元としていることから(この考え自体が間違っていないか心配ですが)、SU(3)も何か対応する物理量があるのか？？などと疑問に思っていましたが、量子力学の範囲内にはなさそうですね。ありがとうございました。

回答No.5

grothendieck

量子力学の範囲でSU(3)を使うことはあります。シッフにも書いてあるように三次元調和振動子はSU(3)対称性を持ちますが、原子核の殻模型では三次元調和振動子ポテンシャル中を核子が独立に運動するという描像をすることがあります。すると原子核の性質がSU(3)で解釈されます。これについては
　高田健次郎、池田清美「原子核構造論」（朝倉書店）
などに解説があります。また、量子力学とリー代数の関係については
　M. A. Olshanetsky and A. M. Perelomov,
Physics Reports, Volume 94, Issue 6, March 1983, Pages 313-404
などに解説があります。

お礼

ありがとうございます。
高田健次郎、池田清美「原子核構造論」（朝倉書店）
を借りてみました。自分の知識レベルではまだ敷居が高そうなので、もう少し勉強を進めてからこの疑問ともう一度向き合ってみたいと思います。

回答No.4

grothendieck

シッフの量子力学には「SU(3)代数が主として素粒子の分類に使われている。」とあり、Gell-Mann, Ne'eman の"The eightfold way" が引用されています。言うまでもなく、これはクォーク模型です。シッフの執筆時点ではクォークは素粒子の分類に使われていたのですが、現在ではdynamicsを論じるためにも欠くことができないものになっています。リー代数がどの様に応用されているかについては
　H. Georgi,"Lie Algebras in Particle Physics" (Benjamin)
等にあります。

お礼

ありがとうございます。
ジョージアイは図書館で読んでみました。
訳本はメモ書きみたいで、行間を読むのに苦労しそうでした。amazonのレビューを見ると原著の方は改訂されててかなりいいみたいなので、今度探してみます。

回答No.3

gontarohk

SU(3)は原子核構造の理論でも使われていて、歴史的にはおそらくクオーク模型よりも古いと思います。

シッフの教科書は私も読んでいないので、どのような所でSU(3)が出てきたのかはわかりませんが、要は、波動関数の対称性を表すための数学的な道具です。
３次元のユニタリ行列で表せる変換に対してハミルトニアンが不変であれば、SU(3)の既約表現を使って波動関数を表せるわけで、具体的な物理的意味は、扱う対象によって異なると思います。
おそらく、シッフは具体的な対象を限定せず、回転群を部分群にもつSU(3)を一般的に仮定して、この対称性をもつ波動関数の一般的性質を論じたいのであろと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに、具体的な対象は限定してないですね。
しいて言えば、
「9個の演算子　a†_j*a_j (i,j=x,y,z) の代数はU(3)の生成元の代数になっている。つまり、これらの演算子の一次結合がHとSU(3)の8個の生成元になる事を証明することができる。 」
という記述がさらりとおまけ程度にのっていました。
そういえば、三次元調和振動子って量子力学ではあんまり扱わない気がするのですが、このへんがややこしく絡んでるからですかね?
今はこの記述の意味がよく分かりませんが、とりあえずもっと前にやるべきことがいっぱいありそうなので、後回しにして先に進めていますが。。

回答No.1

nabla

シッフは読んだことがないのでシッフの中でどういうふうに繋がっていくのかは知らないのですが…
　ＳＵ（３）はゲージ理論まで行ってはじめて使うんじゃないかと思います。うまく伝わるか分かりませんが、どう使うのかを少し説明します。
　実際に観測するときには波動関数そのものには興味はなくて、その絶対値だけに意味がありますね。つまり波動関数の位相を勝手にいじっても我々には何も変わっていないように見えます。
　位相を回すのは絶対値が１の複素数（Ｕ（１）の元）で行うので、これはＵ（１）対称性といいます。
　この対称性が電磁気力の本質であるということが知られています。
（座標変換に対する対称性が重力の本質であったのと数学的には同等です）
　そこでさらに別の対称性に付随する力がないかという興味は当然湧きます。そうして構築されたのがＱＣＤというもので、ＳＵ（３）対称性に基づく力を記述します。（実はＱＣＤは「強い力」を記述しています）
　なぜ位相変換に関する対称性から電磁気力が出てくるのかを知りたければ、ファイバー束の理論を勉強することをオススメします。（普通の場の量子論の本でも載っていますが、やはり一般相対論も含めたところまで統一的に理解できるという点で数学の本でやる方がいいと思います）

お礼

ありがとうございます。

SU(3)の部分群がSU(2)であるように、角運動量を拡大したら強い力と繋がってたりするんですかね？・・・などと、言っているより、勉強を進めてゲージ理論、QCDを学ぶのが先決みたいですね。