「直線は点が無限に集まったもの」は間違いか？

質問

点は、大きさがないので、一方向に無限に並べても直線にはならないと思います。すなわち、「直線は点が無限に集まったもの」という考えは間違いだと思いますが、この理解でよろしいでしょうか？

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

＞直線は点が無限に集まったもの

これは正しいです。平面幾何では、「平面」とは無限集合の一種であり、その要素のことを「点」といいます。「直線」は「平面」の部分集合なので、やはりその要素は点です。

＞一方向に無限に並べても直線にはならない

これはその通りです。そういう並べ方で点から直線を作ることはできません。
もっと言うと、一方向と限定しなくても、「平面上に最初の点を打ち、２番目の点を打ち、３番目の点を打ち、…」という操作を無限に続けたとしても直線を作ることはできません。

１番目、２番目と要素を加えていって作れる無限集合（つまり、自然数の集合と１対１に対応できる集合）を可算無限集合といいますが、直線（直線は実数の集合と１対１に対応します）は可算無限集合ではありません。「無限」にも濃度と呼ばれる大小関係があって、実数は自然数より濃度が大きいということです。

「自然数の部分集合の集合」なら、直線上の点と１対１に対応します。部分集合に７が含まれていれば７桁目を１にし、含まれていなければ７桁目を０にするという方法を使えば、自然数の部分集合を二進法で実数に対応させることができます。実数はもちろん直線上の点に対応します。

このように、無限集合について「部分集合の集合」を作ると、もとの集合より濃度の大きい無限集合になります。

お礼

ご回答ありがとうございました。

「直線は点が無限に集まったものだけれど、点を無限に集めても直線にはならない」と理解しました。

回答No.2

prominence

いいえ、まちがいではありません。
確かに、点には大きさはありませんが、「無限」に集まれば、直線になります。
そうでないとすると、直線と直線の交わったところを「点」と呼べなくなってしまいます。

補足

ご回答ありがとうございました。

そうすると、「ゼロを無限に集めると有限になる」とも言えますか？

回答No.1

tnt

まあ、そうでしょうね。

点には大きさが無いので、どんなにたくさんの点を
用意しても、その２つの点と点の領域は
重なることがありません。
ということは、その間にもうひとつ点を入れることが
できますから、直線と等価ではありません。