(k,k^2)からy=2x^2-3x-4へ2本接線が引ける時のkの範囲は?

質問

識者の皆様宜しくお願い致します。

[Q]
(k,k^2)からy=2x^2-3x-4.へ2本接線が引ける時の実数kの範囲を求めよ。

[A]
y=x^2とy=2x^2-3x-4の交点は(-1,1),(4,16)なので
グラフを見て k<-1,4<k
と直感的に判断したのですが実際どのように計算すればいいのでしょうか?

回答No.2

postro · ベストアンサー

その直感でよいと思いますが、無理やり理屈をつけると、
(k,k^2)を通り、傾きaの直線の方程式は
y=a(x-k)-k^2
y=2x^2-3x-4　と連立させて
2x^2-（3+a)x+ak-k^2-4=0
接することから、この判別式を0とすると
D=a^2+2(3-4k)a+8k^2+41=0
aが二つの異なる実数解を持つためにはこれをaの二次方程式と見て判別式D>0すなわち
D/4=(3-4k)^2-(8k^2+41)=8(k+1)(k-4)>0
となります

お礼

有り難うございました。
判別を使えばよかったのですがお陰さまで解決致しました。

回答No.3

chainarrow

「『y=2x^2-3x-4』の外側の点であれば２本の接線が引ける」ということを証明しない限りあなたの解き方はできません。正しい解き方はNo.1さんが示した通りです。
ちなみに点（t,f(t)）における接線の求め方は
y=y'(x-t)＋f(t)です。

お礼

有り難うございました。
判別を使えばよかったのですがお陰さまで解決致しました。

回答No.1

tarame

(1)y=2x^2-3x-4上の点(t,2t^2-3t-4)における接線を求める
(2)(1)の接線が(k, k^2)を通るので代入する
(3)(2)の式(ｔの2次方程式)が、異なる２つの実数解をもてばよいので、………

という手順で計算します

お礼

有り難うございました。
判別を使えばよかったのですがお陰さまで解決致しました。