大学受験に使える定理。

質問

質問するコーナーに迷ったんですが・・・。

　現在高校３年になります。で、ちょっと友達と議論になったんですが、大学受験の問題に、“高校範囲を逸脱する”定理を使うと、普通に解くより楽にできる問題ってありますよね。むしろその定理を意識させるくらいの・・・。
　ロピタルの定理やパップス・ギュルダンの定理、外積や合同式なども。

　で、僕らの中での一応の結論は、“この極限を求めよ”みたいにあからさまに極限計算を要求する問題ではロピタルは使わないほうが良い　となりました。ただ、例えば・・・グラフを書く時などに、ロピタルを使って“ｌｉｍｆ（ｘ）＝０（ｘ→∞）”などと、勝手に答案に書くときはとても微妙です。
　また、合同式などは、一部の高校学習参考書には記載してありますし、それらの著者の方々も口をそろえて“知っておいたほうが良い”と仰います。外積も。
　中には“大学に直接質問すれば？”なんて意見もあったんですが、“この定理は受験で使ったけどＯＫだったよ”とか“これを使ったら模試で減点されたよ”みたいな経験論でも結構ですので、どなたかご回答頂けませんでしょうか。お願いします。

回答No.5

hismix

回答の前にNo.2のezokaguraさんの回答についてのコメントですが
＞単純な例ですが
＞ｌｉｍ（sinｘ／ｘ）　
＞ｘ→０
＞をロピタルの定理を使って（cosｘ／１）の　ｘ→０　の極限より答えは１
＞と導くのは、数学的には完全な０点になります。
これは極限を求めることに主題を置かれた問題で、ロピタルを使うなという例ですよね。一見するとロピタルの定理の仮定をみたさない例を挙げたように思われるのでコメントしておきました。sinxもxもx→０で０に収束し微分可能なのは明らかのためロピタルの定理は使えます。大学の教授に実際聞いたところ、このようにその定理の仮定を満たすかどうかのチェックをしていれば、減点をすることは有り得ないそうです。合同式や外積についても、mod nでa≡b,c≡d ⇒ac≡bdなどといった基本的な性質は断り無しに使っても問題はないそうです。またフェルマーの定理といったものでも、それが直接問題になっていない限り減点の対象にはならないそうです。