大学受験に使える定理。

質問

質問するコーナーに迷ったんですが・・・。

　現在高校３年になります。で、ちょっと友達と議論になったんですが、大学受験の問題に、“高校範囲を逸脱する”定理を使うと、普通に解くより楽にできる問題ってありますよね。むしろその定理を意識させるくらいの・・・。
　ロピタルの定理やパップス・ギュルダンの定理、外積や合同式なども。

　で、僕らの中での一応の結論は、“この極限を求めよ”みたいにあからさまに極限計算を要求する問題ではロピタルは使わないほうが良い　となりました。ただ、例えば・・・グラフを書く時などに、ロピタルを使って“ｌｉｍｆ（ｘ）＝０（ｘ→∞）”などと、勝手に答案に書くときはとても微妙です。
　また、合同式などは、一部の高校学習参考書には記載してありますし、それらの著者の方々も口をそろえて“知っておいたほうが良い”と仰います。外積も。
　中には“大学に直接質問すれば？”なんて意見もあったんですが、“この定理は受験で使ったけどＯＫだったよ”とか“これを使ったら模試で減点されたよ”みたいな経験論でも結構ですので、どなたかご回答頂けませんでしょうか。お願いします。

回答No.4

red_snake

基本的に高校の範囲外の定理は使わなくても解けます。
これらの定理が役に立つのは、実際に計算した値の予想を立てるぐらいでしょう。それが出来れば逆算も可能といった具合です。
数学で採点官が見るポイントは、その問題を解くのに必要な公式、定理をきちんと用いてといているかという事です。途中の計算の式があっているかよりも、筋道が正しいかどうかです。計算が合ってるかどうかは答えがあってるかどうかですから、簡単な話です。

最後に、公式を証明する問題はきちんとやった方が良いです。

補足

すみません、ｒｅｄ　ｓｎａｋｅさんに補足することで、皆さんへの補足とさせてください。

　ロピタルやパップス・ギュルダンはあまり実用的でないのは分かりました。
　が、合同式や外積は、“高校範囲を逸脱した高級定理”というより、単なる計算過程の違いだと思います。
　合同式なんて誰が見ても明かだし、“☆を○で割った余りを☆≡★（ｍｏｄ○）と書くことにする”と書けば、証明などしなくてもアルゴリズムの表記のし方の違いだけではないんですか？
　また、外積は、“ａとｂに共に垂直なベクトルの１つにｎがある”などと解答用紙に書けば、外積を使った証拠はありません。

　“高校範囲外の定理を使わなくても解けます”と仰って頂きましたが、やはり≡式を使ったほうが一般的に早く解けますし、外積のほうがゴチャゴチャしなくて楽です。もちろん解けない問題は出されないでしょうが、解くスピードに関わってきますので・・・。

　合同式や外積について、追加解答お願いします。