三角錐はなぜ最後に3分の1をかけるか？

質問

1年前に中学受験で勉強していたころ、三角錐の問題が出てきました。
その時　底面積×高さ×3分の1　の「3分の1」が不明でした。
今でも解けないことなので、誰かすっきりするような回答待っています；；

回答No.4

entree

錐体の体積が柱体の体積の１／３になることは、高校２年で習う積分法を使うことで説明できます。(ただし、入試ではやや難問と呼ばれる類に該当するかもしれません)

柱体の底面積を S、高さを h とした場合の体積 V は

V = ∫(0→h) S x dx
= S h

となります。

一方、錐体の底面積を S、高さを h とした場合 (錐体の頂点が原点にあるものとし、底面への垂線が x 軸と重なるものとして図を描いた場合) の体積 V は

V = ∫(0→h) S (x / h)^2 dx
= 1 / 3 S h

となります。なぜなら、位置 x における断面積は x / h の２乗 (面積は２次元なので) に比例するからです。

かなり難しい表現になってしまいましたが、このように偶然１／３になるわけではないということだけでも分かっていただければと思います。

お礼

やっぱり数学は理論で成り立つものだけですね。

回答No.3

info22

考え方として以下の２つの方法で説明されています。
（高校では積分法で数学的に計算で求めると1/3が出てきます。）

三角柱を高さと底面積が同じ３つの三角錐に分割できることから、三角錐の１つの体積が１／３になることを説明する方法（中学１年）
http://www23.big.or.jp/~lereve/tuugaku/42.html

砂や水を使って、三角錐の容器の体積分の砂や水が、同じ底面積と高さの三角柱の容器に３杯分ぴったり入ることを実験的に確かめる方法（小学６年）
http://kids.gakken.co.jp/campus/parents/faxbox/s_kyoka/sun6/B036212130.pdf
B036212130.pdf

お礼

実験するとわかりやすいですね。

回答No.2

大明神（@bathbadya）

三角形の面積が　底面積×高さ×2分の1　は理解できているんですよね？　

立方体（正四面体）の１つの頂点を共有する３つの面を底辺として、その頂点と体格線上にある頂点を四角錐の頂点と考える。
立方体の中に同じ四角錐が３つあるのだから１／３となる。
立方体の１つの面を２つの三角形に分けて考えれば三角錐が６つできる。

高校では積分を習うので、積分を覚えれば球の体積などすぐ出るようになります。

お礼

なるほど～。わかりました。父に積分習います；；

回答No.1

rabbit_cat

高校生になれば、ちょっとわかる。
大学生になれば、さらにもうちょっとわかるかも。

お礼

わかりました。その日を待ちます；；