2変数関数

質問

「x≧y≧0を満たすすべてのx,yについてx＋ay≧0が成り立つ」
ためのaの条件を求めよ。
という問題で、yを固定して、x＋ayの最小値をy＋ayとする。
と書いてあるのですが、なぜでしょうか？？
よろしくお願いします。

回答No.7

meicyan

＞まず、全てxとyをひっくり返してみてください。
なぜですか？

についてですが

x＋ay≧0において、図を描くときに
x＋ay≧0よりay≧-x、y＝-x/aとするよりも
x＋ay≧0よりx＝-ayと考えた方が考えやすいからです。

でもそうするとⅹ軸ｙ軸が逆になってしまい、難しいかな？と思ったのでx,yをひっくり返して通常の形(y＝ax)にして考えてもらったのです。
別に分かるならひっくり返さなくてもいいですよ！

図は書きましたか？

回答No.6

Landolt

y = 0 と仮定するということでしょうか？
何も特別なことはありません。
x のとりうる値の範囲が x≧0 になるだけです。

補足

＞x のとりうる値の範囲が x≧0 になるだけです。
このとき、最小値が0にならないのはどうしてですかということです。

回答No.5

Landolt

横レスになってしまいますが。

x≧y なので、x + a*y ≧ y + a*y ですよね。
（両辺に a*y を足しただけです）
よって x + a*y は y + a*y より小さい値をとることはできません。

もう少しかみ砕いて説明すると、
たとえば y = 2 と仮定します。
すると x≧2 なので、 x の最小値は 2 ですよね。
つまり、 y の値を固定してしまうと、 x はそれより小さい値をとることができない、
つまり、 x の最小値は y になります。
よって x + a*y の最小値は y + a*y なのです。
（もしわからなければ、 x≧2 のとき、 x+2 の最小値がいくつになるか考えればわかるでしょう）

補足

０はどう扱えばよいのでしょうか？

回答No.4

meicyan

あれ？
もしかして答えは-1≦a≦0ですか？？？

補足

-1≦aですよ。。

回答No.3

meicyan

x＋ayをどう見れば、ですか？
１次式であることには変わりありませんが…

では式で解くのではなく、図で解いてみましょう！

ん～、#1の方法を何度も練習して習得して自分で理解するのが1番の近道だと思うのですが。

図は書きましたか？
まず、全てxとyをひっくり返してみてください。
「y≧x≧0を満たすすべてのx,yについてy＋ax≧0…(1)が成り立つ」
こうなりますね。
そして図を書きます。
ｘとｙは正なので第1象限のみが今回の範囲ですね。
そして、y≧xですので、第1象限にｙ＝ｘの半直線をＯ点から引きます。そしてy≧xの範囲、すなわち半直線の上部を斜線で塗ります。
ココの部分が今回の範囲なのです。
これを式で表すと、y≧ｘ(ｙ≧０、ｘ≧０)…(2)
こうなりますね。

さて、(1)を直線の形に変形してください。
y≧-ax・・・(3)
となります。
これを(2)と図を見ながら比較すると…
a≧－１です。

これでどうでしょうか？
もしわからなかったらどこが分からないのかもっと詳しく聞かせてください！
付き合います　笑！

補足

＞まず、全てxとyをひっくり返してみてください。
なぜですか？

＞#1の方法を何度も練習して習得して自分で理解するのが1番の近道だと思うのですが。
#1は良くわかりません・・・・・
一次関数(x≧y≧0)の最小値は0の時とるとしか、どう考えても、わかりません。

回答No.2

meicyan

ということは、a≧-1はあっていたのですね？
よかった～！

え～っと、あなたが求めたいのはaの条件ですよね？

早まって、最小はx＝y＝０だ、と早とちりして、これらを代入してしまうとaの値はどうなりますか？
０になりますよね。
でもやり方によってはもっと小さな値の-1があり得るのです。

今回の式について大事なことは、「x≧y≧0を満たすと同時にx＋ay≧0も成り立つ」ということなのです。

よってx＝y＝０がx＋ay≧0にも成り立つわけではありません。
だからここはぐっと堪えてx＝yと考え、x＋ay≧0に代入するのです。
すると上手く行くのです。
「文字のまま解いていく」というのに慣れるとやりやすいですね。

…どうでしょう？分かりますか？
分からなかったらまた聞いてくださいね。
ここって慣れると簡単なのですが、この概念に慣れるのが難しいので…。

補足

う～～ん、いまいちわかりません。
x＋ayはどう見ればよいのでしょうか？
1次関数とみたら、説明つかないですよね？？

回答No.1

meicyan

x≧yだからです。

最小なのはx＝yのときですよね。
小さいyにxも等しいときですよね。

具体例をあげると
x≧yが2≧1,1≧1のときを考えると、後者のほうが最小になりますよね。

よって「最小値をy＋ayとする。」なんです。
よってa≧-1です！

久々に解いたので、間違ってたらごめんなさいね。

補足

なんというか、
どういう考え方をするのかわかりません。。
貴方の解説なら、
なぜx＝y＝0のとき最小としか思えてなりません・・・・・
x＋ayを一つの1次関数とみて考えればよいのでしょうか？