• ベストアンサー

行列の証明(宿題です)

jmhの回答

  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)
回答No.1

|B|=0では?

関連するQ&A

  • 行列の証明を教えてください

    行列A=(a,b,c,d),B=(1,0,1,0),E=(0,0,0,0), A^2=B,B^2=E,BAB=A^3のとき、 次になることを証明。 (1)BA^2=A^2B (2)(a+d)(AB-BA)=O (3)A^3≠AならばA^2=-E 行列を3学期から習い始めて計算問題しかやっていませんが、 問題集にこの問題がありました。 どう証明すればよいのかアドバイスお願いします。 (親に頼んで質問してもらいました)

  • 行列の証明がわからない!!

    だいぶ考えたんですけど、わからないんで解説付きで教えて下さい。 n次正方行列A,BがAB=BAを満たす時,次の事を証明せよ。 1)Aの固有ベクトルはBの固有ベクトルである。 2)ABとBAの固有値は等しい。 1)はまったくわからないんです。2)はABとBAは同じなんじゃないのかなって思うんですけど、違うんですかね?

  • 行列の証明

    A,Bはともにn次の正方行列とするとき、AB-BAとAが可換ならば A^(n)×B-BA^(n)=nA^(n-1)×(AB-BA)はnが2以上の整数についてなりたつことを証明せよ という問題がわかりません。 帰納法を使うと思うのですが、そこからが・・・ 誰か教えてください。

  • 行列の質問です。

    n×mの行列Aとm×n行列Bについて、In+ABが正則のとき以下を証明せよ.。(Inはn×nの単位行列) (1) (In+AB)^-1A=A(Im+BA)^-1 (2) (In+AB)^-1=In-A(Im+BA)^-1B Im+BAは正則であることもわかりませんでした。 よろしくお願いします。

  • 正則行列の証明問題

    問題は「Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならばに二のm×n行列Cに対し次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。またX^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。 X= |A B| |0 D| Y= |A 0| |C D| Z= |B A| |D 0| 」 です。 証明は逆行列を求めて正則行列でないB、Cの逆行列が関与していないことを示すだけでいいですか? 解答がないんで確かめようがなくて困ってます。 よろしくおねがいします。

  • 行列の証明

    行列の証明に付いての問題なのですが、よく証明の仕方が分かりません。 もし親切な方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。 正方行列Aについて次のことを証明せよ A2ーA+E=Oならば、 Aは逆行列をもち A+A-1=E

  • 行列の証明

    行列の証明です。  Aをn次の正方行列とする。任意の正方行列Bに対し、AB=BAが成立するならば、Aはスカラー行列であることを示せ。 このような問題です。都合のよいBを使い、まずAが対角行列になることを示すようなのですがわかりません。  教えてください。お願いします。

  • 正則行列の証明(代数学)

    「n次正方行列Aについて次のことを証明せよ」という課題に取り組んでいます。ですが、下記の部分だけが合格できない状態です。力を貸して下さい。 『「Aは基本行列の積として表される」ならば「Aは正則」である。ことを証明せよ。』 というものです。解答としては、 「Aを基本行列の積に表す。基本行列は正則であり、正則行列の積はまた正則であるから・・」ということを証明すればいいと思うのですが・・・。アドバイスをお願い致します。 

  • n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。

    n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。 [1] Aは正則 [2] |A|≠0 [3] rank A = n [4] Aのn個の列ベクトルは1次独立。 [5] AB = Eを満たすn次正方行列Bが存在する。  [1]→[2] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1=Eとなる。 |AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|=1≠0となり、|A|≠0であることがわかる。 ∴ Aが正則ならば|A|≠0である。 [2]→[3] P、Qを正則行列として、 PAQ=(Er 0 0 0) としたとき Aがn次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もn次の正方行列である。 |A|≠0より|PAQ|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=nが言える。 ∴ |A|≠0ならば、rankA=nである。 [3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、 Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。 よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。 ∴ rankA=nならば、Aのn個の列ベクトルは1次独立である。 [4]→[5] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・(1)とする。 a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、(1)式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。 このとき|A|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので |A|≠0である必要がある。|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。 このとき、A^-1=Bとすれば、AB=Eとなる。 ∴ Aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する。 [5]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠0。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。 C=EC=(AB)C=A(BC)=AE=A。 ここで、BA=Eであることがわかる。 AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが1つしか存在しない。 よって、BがAの逆行列であることがわかる。 Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。 ∴ AB=Eを満たすn次正方行列が存在すれば、Aは正則である。 上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか? アドバイスお願い致します。

  • 行列の証明

    Aをn次の正方行列 Pをn次の正則行列 B=P^-1・A・Pとすると B^n=P^-1・A^n・Pを証明する問題で B^n=(P^-1・A・P)^n =(P^-1・A・P)・(P^-1・A・P)・…・(P^-1・A・P) =P^-1・{(A・P)・(A・P)・…・(A・P)} =P^-1・{(A)・(A)・…・(A)}・P =P^-1・A^n・P あってますか? 答えがないのでお願いします