- ベストアンサー
行列の証明(宿題です)
jmhの回答
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
|B|=0では?
関連するQ&A
- 行列の証明を教えてください
行列A=(a,b,c,d),B=(1,0,1,0),E=(0,0,0,0), A^2=B,B^2=E,BAB=A^3のとき、 次になることを証明。 (1)BA^2=A^2B (2)(a+d)(AB-BA)=O (3)A^3≠AならばA^2=-E 行列を3学期から習い始めて計算問題しかやっていませんが、 問題集にこの問題がありました。 どう証明すればよいのかアドバイスお願いします。 (親に頼んで質問してもらいました)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の証明がわからない!!
だいぶ考えたんですけど、わからないんで解説付きで教えて下さい。 n次正方行列A,BがAB=BAを満たす時,次の事を証明せよ。 1)Aの固有ベクトルはBの固有ベクトルである。 2)ABとBAの固有値は等しい。 1)はまったくわからないんです。2)はABとBAは同じなんじゃないのかなって思うんですけど、違うんですかね?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則行列の証明(代数学)
「n次正方行列Aについて次のことを証明せよ」という課題に取り組んでいます。ですが、下記の部分だけが合格できない状態です。力を貸して下さい。 『「Aは基本行列の積として表される」ならば「Aは正則」である。ことを証明せよ。』 というものです。解答としては、 「Aを基本行列の積に表す。基本行列は正則であり、正則行列の積はまた正則であるから・・」ということを証明すればいいと思うのですが・・・。アドバイスをお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。
n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。 [1] Aは正則 [2] |A|≠0 [3] rank A = n [4] Aのn個の列ベクトルは1次独立。 [5] AB = Eを満たすn次正方行列Bが存在する。 [1]→[2] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1=Eとなる。 |AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|=1≠0となり、|A|≠0であることがわかる。 ∴ Aが正則ならば|A|≠0である。 [2]→[3] P、Qを正則行列として、 PAQ=(Er 0 0 0) としたとき Aがn次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もn次の正方行列である。 |A|≠0より|PAQ|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=nが言える。 ∴ |A|≠0ならば、rankA=nである。 [3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、 Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。 よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。 ∴ rankA=nならば、Aのn個の列ベクトルは1次独立である。 [4]→[5] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・(1)とする。 a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、(1)式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。 このとき|A|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので |A|≠0である必要がある。|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。 このとき、A^-1=Bとすれば、AB=Eとなる。 ∴ Aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する。 [5]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠0。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。 C=EC=(AB)C=A(BC)=AE=A。 ここで、BA=Eであることがわかる。 AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが1つしか存在しない。 よって、BがAの逆行列であることがわかる。 Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。 ∴ AB=Eを満たすn次正方行列が存在すれば、Aは正則である。 上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか? アドバイスお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数