e^xを微分するとe^xになる理由

質問

大学１年のものです。

(e^x)'＝e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、２つほど見つけたのですが、

１）
y＝e^x
logy＝x
(1/y)y'＝1
よって　 y'＝y＝e^x

２）　　e^xを無限級数に直して微分

１）の場合d(logx)/dx＝1/x…(＊)を利用していますが、(＊)は(e^x)'＝e^xを利用せずに証明できるのでしょうか？

２）の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'＝e^xを利用しなければならないような気がします。

１）、２）とも(e^x)'＝e^xの証明に(e^x)'＝e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…

微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'＝lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。

(e^x)'＝e^xはなぜ成り立つのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.7

y_hiroaki · ベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」１）も２）も(e^x)'＝e^xを用います。
従って１）にも２）にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(＊)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(＊)はtを用いて
(＊)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ：項数が増え
ロ：個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + ……　+ 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界（どんなnをとってきても(1+1/n)^n＜MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3）です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
（証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います）

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(＊)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する（収束値をeと名付ける）
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

（注：冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう）

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明（あるいは公理の必然性）をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

お礼

理解するのに時間がかかってしまいました。
丁寧に書いてくださりありがとうございました。
最後におっしゃった証明も見てみようと思います。

ありがとうございました。

回答No.8

tasu9

こんばんは
行き詰まってしまったところからは、(e^h-1)/h→1を示せばいいので、
e^h-1=tとおくと証明できると思います。
h→0のとき、t→0
h=log(1+t)
なので、
(e^h-1)/h＝t/log(1+t)
＝1/[log(1+t)^(1/t)]
分母の真数のところはｅの定義通りで、→ｅ
だから、(e^h-1)/h→1/loge＝1
となります。

お礼

あ～なるほど。
…全然思いつきませんでした(笑)

ありがとうございました。

回答No.6

tomtom_

元々，オイラーさんは次のように計算したようです．

1. 2項定理を用いてlogの無限級数展開を導く
2. 無限級数展開を用いて，logの微分公式を導く
3. 質問者さんの1)の方法でeの微分公式を導く

この1.はテクニカルで，凡人の私には到底思いつくものではありません．

お礼

２項定理を用いてlogの無限級数展開導けるんですか。
…さすがオイラーさんですね。

ありがとうございます。

回答No.5

noname#20378

考えたことも無かったので考えてみました。
ネピア数をWikipediaで調べたところ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

lim{n→∞} (1+1/n)^n と「定義する」ようですので、これを使ってみました

logx(底はeですね？)の微分の定義は
(logx)' = lim{Δx→0} (log(x+Δx)-logx)/Δx
= lim{Δx→0} log((x+Δx)/x)/Δx
= lim{Δx→0} log(1+Δx/x)/Δx
ここで、X=x/ΔxとおくとΔx→0の時、X→∞(注意x≠0よりX≠0)
= lim{X→∞} X・(log(1+1/X))・ 1/xと変形できます。
ここで
lim{X→∞} X・(log(1+1/X))=log((1+1/X)^X)はeの定義からloge=1と求まる
以上から(logx)'=1/x である。どうだっ！
...かいてたら回答がぽつぽつと...orz

お礼

なるほど！
すごい…感動しました。
やはりlim{n→∞} (1+1/n)^n＝eが出てくるんですね。
この定義をどうやったら利用できるのかが、まったく見当つかなかったので感動しました。

ありがとうございます。

回答No.4

cubics

結果的には、No.2 さんのおっしゃるように、そうなるのが、自然対数の底である「ｅ」ですね。
過去にも、質問がありました。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=720039

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=720039

お礼

「e^x　微分　証明」で検索していたので、
この質問には気がつきませんでした…

ありがとうございます。

回答No.3

quads

y = a^x

両辺の対数をとる
　log(y) = log(a^x) = x*log(a)

両辺をxで微分
　(y'/y) = log(a)

両辺にyを掛けて
　y' = y*log(a) = (a^x)*log(a)

∴ (a^x)' = (a^x)*log(a) = loga*a^x

※lim[h→0] {1+h}^(1/h) の極限値として e は定められています。

お礼

両辺をxで微分
　(y'/y) = log(a)

のところはlogxを微分すると1/xになるということを使っていると思うのですが、そうすると(e^x)＝e^xを使っているということになるのではないでしょうか？
(e^x)＝e^xを使わずに、
(logx)'＝1/xを証明できるのでしょうか？

補足

お礼を言うのを忘れていました。

ありがとうございました。

回答No.2

BLUEPIXY

(e^x)'＝e^x
になるようにｅを決めたというようなことだったような気がします

お礼

そ、そうだったんですか？
では
lim{n→∞}(1+(1/n))^n＝e
は
(e^x)'＝e^x
から導かれるということなのでしょうか？

補足

お礼を言うのを忘れていました。

ありがとうございました。

回答No.1

kamishiro

a^xの微分を考えてみましょう。

(a^x)'＝loga・a^x

aをeにすると

(e^x)'＝loge・e^x

　　　＝e^x

よって　(e^x)'＝e^x　なのです。

お礼

(a^x)'＝loga・a^x
はどのようにして導くのでしょうか？
すいません。

補足

すいません。
回答のお礼を言うのを忘れていました。

ありがとうございました。