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必要条件について
stomachmanの回答
- stomachman
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●前提、必要条件、十分条件 論理式が P⇒(Q⇒R) という構造をしているとき、「Pである場合にだけ限って考えれば、(Q⇒R)の必要条件はQ、十分条件はR」という解釈をすることができる。このとき、Pを強いて名付ければ「前提」と呼ぶのが分かりやすいだろうと思います。例えば ∀x (xは自然数⇒(x≠0⇒x>0)) なら、「自然数についてだけ考えれば、xが0でないならばxは正である」という読み方ができる。 でも P⇒(Q⇒R)は ￢P∨(￢Q∨R) と等価であり、従って￢(P∧Q)∨Rとも、(P∧Q)⇒Rとも、Q⇒(P⇒R)とも等価です。だから「前提」と「必要条件」を区別するはっきりした根拠はないですね。 ￢(P∧Q)∨R を使って上の例を書くと、 ∀x (￢(xは自然数∧x≠0)∨x>0) ：「どんなxも、(0でない自然数)ではないか、あるいは正である」 ということになる。これは「自然数についてだけ考えれば、xが0でないならばxは正である」と読む以上の含蓄があるように思いますが、如何でしょう。 「必要条件・十分条件に注意しろ」というのは、Q⇒Rを証明すべき時に誤ってR⇒Qを証明しちゃうような、そういう誤りを諫めている。でもP⇒(Q⇒R)という読み方に拘らない方が、いろんなアプローチを考える余地ができると思います。 ●","の意味 ANDにもORにも使われることがありますが、 「山田は男, 坂本は女, 柴田は犬だ。」 と言ったらこれ、ANDでしょう？命題を","で繋いだら、大抵の場合ANDの意味です。 問：x=1, y=0のとき、x+y+xyを求めよ を「x=1またはy=0ならx+y+xyが幾らになるか」って考えるのはへそ曲がりでしょう。 問：x(x-1)=0の必要十分条件は？ 答1：x=0,x=1 なんていい加減な書き方をしても、（1≠0）が分かっているからこれらは x=0 ∨ x=1 だろうと了解できますが、好ましくはありません。 答2：x=0,1 のように、命題ではなく対象を","で繋ぐのはx∈{0,1}の意味だと思えばまだ許せます。 ●さて、補足なさった問題： 「０，１のいずれとも異なる２整数a,b(a≠b)を考え、f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1 とおく。g(x),h(x) は整数係数の多項式でf(x)=g(x)h(x) であると仮定する。このとき (1) g(0)=h(0)を示せ (2)g(x),h(x)のどちらも定数でないならば、g(x)=h(x) であることを示せ (3)(2)の場合が起こるようなa,bの例を１つ求めよ。」 これを整理してみましょう。以下でZは整数の集合。Cはxの変域で、複素数とか実数とか、そのへんは曖昧ですが、 命題Pを P = a≠b ∧ a∈Z-{0,1} ∧ b∈Z-{0,1} ∧ ∀x(x∈C⇒f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1) ∧ g∈整数係数の多項式 ∧ h∈整数係数の多項式 ∧ ∀x(x∈C⇒f(x)=g(x)h(x)) とすると、 (1) ∀a∀b∀f∀g∀h (P⇒g(0)=h(0)) (2) ∀a∀b∀f∀g∀h (P⇒((gは定数関数でない∧hは定数関数でない)⇒∀x(g(x)=h(x)))) (3) ε<a,b>∀f∃g∃h (P∧gは定数でない∧hは定数でない) と書けます。ここにε<a,b>Xは「Xを満たすような<a,b>」と読みます。 (1)(2)の場合、Pを「前提」と考えるのが普通でしょうね。 (1)の命題は真です。 もしPでないならば（g(0)=h(0)であろうとg(0)≠h(0)であろうと）(1)の命題は真です。 またもしPならば、f(0)=1, g(0)∈整数, h(0)∈整数, f(0)=g(0)h(0)です。ゆえに整数の性質から g(0)∈{1,-1}, h(0)∈{1,-1}, g(0)=h(0)です。よって(1)の命題は真である。 いずれにせよ、(1)の命題は真である。 (2)の命題は偽です。 f(x)は５次式ですから、「g(x),h(x) がxの多項式で、∀x(f(x)=g(x)h(x)) であって、しかも∀x(g(x)=h(x))」ということはない。なぜならもし∀x(g(x)=h(x))ならば、∀x(f(x) = (g(x))^2)だからf(x)の次数は偶数の筈です。 (3)も、そのようなa,bはない。
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お礼
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