粒間距離について

質問

皆さんこんにちは。
直径１ｍの円内に６７０粒の
微小粒を均等に散りばめるとして、
その粒間距離はいくらでしょうか？
その、解析方法をご教示頂けると幸いです。

「均等に散りばめる」の定義は
数学的に正確に定義することは、
自分でも思いつきません。

感覚的な話ですみません。

回答No.5

moumougoo · ベストアンサー

工学的な切り口になりますが（直径１ｍの円内に６７０粒の微小粒とかなり具体的なので）・・・

「均等に散りばめる」方法のひとつとして数値計算における自動メッシュ生成があります。
構造解析などで例えば対象を細かく要素に分割するのですが、一般に均等にメッシュが作られたほうが精度や安定性がいいので、いかに良いメッシュを作るかという問題があり、かつ、複雑な構造物に対してメッシュをきるために自動メッシュ生成が考えられて来ました。

で、ご質問の件ですが、下記ＵＲＬにあるようにデラウニー法で計算するのがよいかと思います。
これであれば円周付近の条件を含めて計算することができます。
ただし、この場合計算機で計算することになるので、理屈で見積もるという形にはなりませんが・・・。

http://www.nasl.t.u-tokyo.ac.jp/~katsu/lectures/simulation/4th-mesh.pdf
（今井著「計算機幾何学」共立出版なども参考になると思います）

お礼

こんにちは、kazukazu256です。
お忙しい中、早速のご指導ありがとうございました。
皆様方からご指導頂いた種々方法で計算し
結果を比較検討させて頂こうと思っております。
また、教えてｇｏｏのシステムの都合上、同じ
お答えを頂いたにもかかわらず、ポイントが
付けられない方が出てしまう点、誠に申し訳なく
思っております。すみません。
助かりました。ありがとうございました。

回答No.6

shkwta

一つの考え方ですが、

(1)＃３様のように、粒を正三角形の格子に並べます(1100個ぐらい）。
(2)この格子の上に円を重ねます。
(3)円の内部に入る粒の数を数えます。
(4)ここで、格子の間隔と、円の位置をうまく調節して、円の内部の粒が670個になるようにします。

表計算ソフトを使うとこの計算は簡単にできます。

（計算例）
格子の間隔をLとします。
1085個の粒を正三角形に並べました。すなわち、(x,y)=(nL, mL√3)の点と、(x,y)=((n+0.5)L,(m+0.5)L√3)の点に粒を置きました。(n,mは整数）
このとき、L=0.0367とし、(x,y)=(0.004, 0.003)を中心として半径0.5の円を描くと、円内の粒が670個になりました。

お礼

こんにちは、kazukazu256です。
お忙しい中、早速のご指導ありがとうございました。
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付けられない方が出てしまう点、誠に申し訳なく
思っております。すみません。
助かりました。ありがとうございました。

回答No.4

paddler

＃３です。　すみません、「最終的に求めるもの」を間違えてしまいました！

> Step2：
> 1で求めた密度（粒/m^2）のときに、直径1mの円では何個入るか？

ではなく、

Step2：
Step1の密度が、"直径1mの円の面積に670個入る"という密度と等しくなるようにするには粒の間隔を1cmではなく何cmにすればよいか？

が正しいです。

お礼

こんにちは、kazukazu256です。
お忙しい中、早速のご指導ありがとうございました。
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結果を比較検討させて頂こうと思っております。
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付けられない方が出てしまう点、誠に申し訳なく
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助かりました。ありがとうございました。

回答No.3

paddler

> 「均等に散りばめる」の定義は．．．

私が思うには、「隣接するどの２粒間をとっても距離が等しい」ことじゃないでしょうか？
つまり、正三角形を隙間なく積み重ねた各頂点のところに粒が置かれたいわゆる「最密充填」の状態のことだと思います。（正方形に配置すると対角線間の距離は√2倍になる）

この定義でよいとすると、解法のヒントは、

Step1：
まず適当な間隔（1cmでもよいでしょう）の最密充填で粒を並べ、十分広い（1m^2とか）の面積に何個入るかを計算する。
Step2：
1で求めた密度（粒/m^2）のときに、直径1mの円では何個入るか？

でどうでしょう？
この問題の場合、１・２粒の誤差が出るのはしょうがないように思うのですが。

回答No.2

yumisamisiidesu

同じ大きさの正方形からなる開(閉でもいい)被覆を任意有限で考えて
その正方形の数をnとする

lim((n/670)*その正方形の対角線の長さ))
n→∞

　でかなり近いような気がしますが正確かと言われるとちょっと自信なし

お礼

こんにちは、kazukazu256です。
お忙しい中、早速のご指導ありがとうございました。
皆様方からご指導頂いた種々方法で計算し
結果を比較検討させて頂こうと思っております。
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お答えを頂いたにもかかわらず、ポイントが
付けられない方が出てしまう点、誠に申し訳なく
思っております。すみません。
助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

円内に半径ｘの円６７０個をできるだけ隙間なく敷き詰めたときに、その円の中心間の距離（２ｘ）になると思います。

正確な計算ではないですが、大きな半径５０ｃｍの円の面積と、６７０個の円の面積が等しいとして解くと、
５０×５０π　＝　６７０×π×ｘ＾２

ｘ＾２＝　２５０/６７ = 3.73
ｘ＝１．９３

よって、３．８ｃｍ

実際には隙間がありますから、もう少し短くなるかと思います。

お礼

こんにちは、kazukazu256です。
お忙しい中、早速のご指導ありがとうございました。
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結果を比較検討させて頂こうと思っております。
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お答えを頂いたにもかかわらず、ポイントが
付けられない方が出てしまう点、誠に申し訳なく
思っております。すみません。
助かりました。ありがとうございました。