点が線分上にある条件について

質問

数学がとても苦手なのです。基本的な問題で申し訳ありません。

同一平面上で、ある点Ｐ（ＰＸ，ＰＹ）が、点Ａ（ＡＸ，ＡＹ）,点Ｂ(ＢＸ，ＢＹ)を結んだ線分ＡＢ上に存在する場合、点Ｐの座標が満たすべき条件を教えてください。

なんとなくは分かるのですが、シンプルに考えることができず、頭の中がごちゃごちゃになってしまいます。

回答No.3

newtype · ベストアンサー

一般に平面上に線形独立なベクトルが２つあったとすると、（それぞれ位置ベクトルをａ，ｂとする）
その平面上の任意の点（位置ベクトルをｐとする）はすべてそれらの一次結合（線形結合）で表わすことができる。

すなわち、ｐ＝αａ＋βｂ…（１）（α，βは任意）と簡単に表わせることが出来る。
このαとβに条件がつくと、線分、直線、領域などを表わすことができるのだ。
それについてわからなければ後日にまた質問してもらえればよい。一つだけ言っておくと、覚えるべきは（１）式だけであり、他の条件は線分、直線、領域など特別な場合でさえ自分で導くことが重要だということだ。その後に覚えるなら許されるのだが、初めからこんなもの覚えたところでパラメーターを変えられれば問題が解けなくなるのは、目に見えている。どうか正しく勉強なさいますように。
私は高校生のとき、「大学への数学シリーズ」で勉強していましたが、空間図形とベクトルに関しては「細野真宏の空間図形とベクトルが面白いほどわかる本ハイレベル問題」がおすすめだ。解が気に入らないところもあるが（たとえば点から平面に下ろした垂線の足の座標の求めかた…等）、良書の類であるのは確信できる。
この本を読まずしてベクトルを語るなかれ。
suyasuyaさんの解は正しい。これによると、条件はα＋β＝１ですね。
ちなみに、「α＋β＝１かつα≧０，β≧０ならばｐは線分ＡＢ上」
「０≦α≦１，０≦β≦１ならば、ｐはＯＡ，ＯＢを二辺とする平行四辺形の周および内部」
「α＋β≦１かつα≧０，β≧０ならばｐは三角形ＯＡＢの周および内部」
等々いろいろあるがどれも一つ変えただけでがらっと答えが違うことに注目してほしい。パターン暗記がいかに無意味なことかわかるはずだ。
パターン暗記が通用するのは微積で、一番役に立たないは確率なんだがベクトルは中間に位置しているので勉強方法がわからない人は意外にも多いのかもしれない。
いずれにしても、勉強することがいっぱいあって大変だなということです。

以上

回答No.4

newtype

「…線分ＡＢ上に存在する場合…」となっているのでsuyasuyaさんの解では足りないね。
基本は正しいのだが…もっとも私もこういうミスをやった方なので人のこと言えませんが。
正しい答えは「ＯＰ＝ＫＯＢ＋（１－Ｋ）ＯＡ、０≦ｋ≦１」 ですね。
「０≦ｋ≦１」がないと直線ＡＢ上ということになって具合が悪いね。

以上

回答No.2

sinisa

点Aと点Bを通る直線（Ｌ）の方程式を求めて、この方程式を満たすｘとｙが直線Ｌ上にある点（ｘ,ｙ）です。

線分ですので、ｘがＡＸとＢＸの間にある場合だけを考えればいいと思います。

つまり、直線の方程式とＡＸ≦ｘ≦ＢＸ（ＡＸ≦ＢＸなら）の二つの条件両方を満たせばいいのでしょうか？
不安だな～。
すいません、それでは。

お礼

ありがとうございました。同じ問題でも色々な考え方があるのですね。一次関数で考えるととても分かりやすいです。ただ、場合分けするときに、「なにか忘れてるんじゃないかしら・・・」といつも不安になってしまいます。

回答No.1

suyasuya

ベクトルから考えると、点が線分上にある条件は
ＡＰ（ベクトル）＝ＫＡＢ（ベクトル）・・・・・Ｋは定数～～～～(1)
上記の式になります。詳しく言うと
Ａ，Ｐ，Ｂが一直線にあるためには、Ａ→Ｐ→Ｂとなり、ＡＰ（ベクトル）とＡＢ（ベクトル）は平行（起点が同じＡで同じ方向）にならなくてはいけません。よって、上記のような式になります。
また、原点をＯとおくと、ＡＰ＝ＯＰ－ＯＡ、ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡとなり、これを(1)に代入すると
ＯＰ－ＯＡ＝Ｋ（ＯＢ－ＯＡ）となります。これを、まとめると
ＯＰ＝ＫＯＢ＋（１－Ｋ）ＯＡ～～～(2)
(2)も条件式になります。ちなみに(2)の場合、Ｐは線分ＡＢをＫ：（１－Ｋ）に分ける点になります。