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X5乗-1=0 の因数分解の仕方は?
guiterの回答
- guiter
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>一応、知ってます。 補足ありがとうございます。 まず、念のための前置きですが任意の複素数は極表示で z = r(cosθ+isinθ) と書くことが出来ます。このとき、例えば z^2 は z^2 = r^2(cosθ+isinθ)^2 = r^2{(cos^2θ-sin^2θ)+i(2sinθcosθ)} = r^2(cos2θ+isin2θ) となります。 一般に z = r(cosθ+isinθ) のとき z^n は z^n = r^n{cos(nθ)+isin(nθ)} となることがわかります。(de Moivreの公式ですね。) この数式を複素平面上で考えてみると 絶対値1の複素数 cosθ+isinθ を掛けることは角度θの回転を意味します。 すると、α^5=1を満たすαは5回 回転して複素平面上で点(1,0)に 戻ってくることになります。 まず、 r^5{cos(5θ)+isin(5θ)}=1 の両辺絶対値をとると r=1 であることがわかります。 すると、 cos(5θ)+isin(5θ)=1 となりますが、5θ=2nπ のときにこの式は満たされます。 0≦θ<2π とすると n=0,1,2,3,4 となります。 つまり、θは θ = 0,2π/5,4π/5,6π/5,8π/5 の5つです。これらが1の5乗根になっています。 a = cos(2π/5)+isin(2π/5) とすると、因数分解の結果は (x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4) となります。
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