面積の違いについて

質問

とても簡単なことのようでお恥ずかしいのですが、
わかる方、是非お教えください。

例えば縦が2cm、横が6cmの長方形があるとします。
この長方形の面積は
2*6で12平方センチメートルということになると思います。

それとは別に、縦4cm、横が4cmの正方形があるとします。
この正方形の面積は
4*4で16平方センチメートルということになると思います。

ここで疑問なのですが、上記二つの図形の外周は共に16cmです。
ということは同じ1本の紐でできているとも考えられます。
それなのに面積が異なってしまうのは何故なのでしょうか？

遠い昔、数学の先生に教えてもらった記憶があるのですが、
すっかり忘れてしまいました。
ご存じの方、是非お教え頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.4

corp · ベストアンサー

使える紐の長さを2a (aは正)とし、矩形の一辺をx (0<x<a)とするならば、次のことがわかります。
1.矩形の隣り合う２辺の長さはそれぞれx, a-x
2.矩形面積yはxの関数として表せて、y=x(a-x)

ここで、質問者の方が言われるようにxが変移する場合にy(すなわち面積）がどんな変化をするか考えます。

y=x(a-x)=-(x-a/2)^2 + (a^2)/4
ですから、x-yグラフとしては頂点(a/2, (a^2)/4)の上に凸である放物線です。

ということは、紐の長さ2aで作成できる矩形面積は丁度２辺が等しい（x=a/2)ときに最大となる事がわかります。ですから、面積は異なってきますね。

お礼

ご回答、ありがとうございます。

かすかな記憶でしかないですが、以前教えて頂いた時も
corp様と同じように回答してもらったように思います。

今となっては計算も危ういですが・・・　σ(^_^;

丁寧なご回答を頂き、ありがとうございました。

回答No.3

adjective

簡単
長方形の２辺をｘ，ｙとする。
全周が１６だから
２ｘ＋２ｙ＝１６
ｘ＋ｙ＝８・・・（１）

ここで面積Ｓを計算します。
Ｓ＝ｘ×ｙ・・・（２）

（１）から　ｙ＝８－ｘ・・・（１’）

（２）に（１）を代入
Ｓ＝８ｘ－ｘの２乗

この方程式の最大値を求めれば良い。
微分方で最大値を求めて（２次間数の最大値を求める問題）もいいが、算数レベルなら

ｘ＝０，１、２、３、４、５，６、７、８
といれてみればいい。
ｓ＝０、７、１２，１５，１６，１５，１２，７，０

なので
ｘ＝４で最大値の16をとる。

お礼

ご回答ありがとうございます。

しばらくこういった方程式というものから
離れていたため、すごく新鮮です。
（ちょっと今の私にはムリかな・・・（笑））

ありがとうございました。

回答No.2

ringohatimitu

逆に周の長さが同じであれば囲まれた面積が同じである根拠はありますか？面積が囲まれた長方形によって違うのは次のことからも明らかです。紐の中に両手の人差し指を入れて引っ張っていくと細い長方形ができますがこれ以上引っ張れないところまでいくと面積は０に近づきますね。

お礼

ご回答、ありがとうございます。

>逆に周の長さが同じであれば囲まれた面積が同じである根拠はありますか？

と言われてしまうと「・・・」となってしまいますね;^_^A
#1の方同様、わかりやすく説明して頂いて恐縮です。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#43437

理由は・・面積と、外周は別物、ということじゃないでしょうか。

極端、１６cmの紐でできた輪を、１辺４cmの四角形にすれば１６平方cm、ぐーっと引っ張ると、長さ８cm、面積０の直線になりますよね。

お礼

わかりやすいご回答、ありがとうございます。
確かに極端な話、面積０という直線もできますね。

しばらく数字の世界から離れると、こういった発想が
もてなくなって寂しく思います。
ご回答ありがとうございました。