相対性理論における等価原理について

質問

一般相対性理論の指導原理となった(?)「等価原理」というものは、重力による作用と加速による作用が観測上では「等価」である、という原理のようですが、これらは本当に「観測上区別できないもの」なのでしょうか？

例えば、エレベーターの中の上下２地点で、同じ重さの物体に働く力を調べたとします。もし、厳密にこの２つの力が同じならば、それは加速による作用と判るのではないでしょうか？　なぜならば、もし重力による作用ならば、垂直方向の位置の違いにより、厳密には２つの力の値に差が出るのではないでしょうか？　（それが観測できるかどうかは別として。）

それとも、加速されている時も、その加速によって２地点間の距離が（わずかながらでも）縮み、その結果として、２地点での加速度に差ができて、重力による場合と区別できないということなのでしょうか？

または、「等価原理」というのが、「１地点における作用が重力によるものか、加速によるものかが区別できない」ということなのでしょうか？
しかし、「１地点における作用」というのならば、例えば「電磁気力による作用」というのも観測上は区別できないのでは？

済みません、不勉強で、まったく見当はずれの点も多いかと思いますが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

shiara · ベストアンサー

重力と慣性力が観測上区別できるか、ということですと、区別できます。重力は空間的に一様ではありませんので、質問者様の指摘通り、区別が可能です。
　等価原理が言っているのは、重力と慣性力が区別できない、というのではなく、両者は本質的に同じである、ということです。式で表したときに、どちらも、計量テンソルの微分したもの（かなり複雑ですが）として得られます。２つのものが区別できない、という点からいうと、等価原理は、慣性質量と重力質量が同じものである、ということになります（厳密には、比例関係にあればよいのですが）。
　電磁気力との区別ができないかどうか、については、適切な説明ができなくと申し訳ないのですが、アインシュタインは、電磁気力と重力を統一しようと試みて、結局うまくはいかなかったようです。
　一般相対性理論が局所的な理論であることは確かで、量子力学のように空間的に広がりを持つと考えざるを得ない理論との融合は果たされていません（と認識しております）。

お礼

ご回答をありがとうございました。
等価原理が、慣性質量と重力質量が等しい（比例関係にある）という主張である、というご指摘は、大変分かりやすかったです。この主張は、ニュートンの頃から指摘されていたようですが、いわゆるニュートンの古典力学では、要請する必要のない原理な訳ですね。ところが、アインシュタインはそれを必須原理と捉え、これを大前提として、一般相対性理論を築き上げていったのですね。
また、量子力学の方は局所的な理論でない、というお話も大変参考になりました。だから、相対性理論と量子力学は理論的に統一することが難しいのですね。それにしても、それこそ局所的と思える素粒子の世界を扱う量子力学が、局所的な理論ではないというのは、何か逆説的な気がしますが・・・。
いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.7

grothendieck

相対論的量子力学(ディラック方程式)はスピン接続を導入することで局所ローレンツ変換に対して共変であるように書き換えることができます。ですから量子力学は慣性系で定義されているから重力場の理論との融合はできないと言うことにはならないと思います。このような理論は"Quantum field thory in curved space-time"という分野で研究されており、
　N.D.Birrell, P.C.W.Davies;Quantum Fields in Curved Space(Cambridge Monograph on Mathematical Physics)
のような本があります。ただしこの理論には明らかな困難があります。量子論では十分に強い、または激しく変化する重力場は対粒子を生成することができます。すると重力は座標系に依存しますから、粒子があるかないかということも座標系に依存してしまうのです。このような困難はあるものの、Hawking輻射とかUnruh効果のような興味深い結果も得られています。しかしこの理論は古典的な重力場の上で量子論を記述したものであり、真に量子論と重力を融合したとは言えません。真に量子論と量子論と重力を融合するためには重力場を量子化する必要があります。Quantum gravity には次のようなアプローチが提案されています。
　String theory
　Loop quantum gravity
　Discrete approach (Regge calculusなど)
　Purtervative quantum gravity
　Twistor
　Non-commutative geometry
　Null surface formulation
　Spin foam model
これらのアプローチのどれも完成していません。しかし全く悲観したものでもないと思います。

お礼

再度ご回答をいただき、ありがとうございました。
不勉強で全くついていけませんが、雰囲気的には十分にワクワクする内容です。しっかり勉強しないといけませんね。
ありがとうございました。

回答No.6

shiara

No2で回答したものです。「弱い等価原理」というものと「アインシュタインの等価原理」というものがあるというのは、私も知りませんでした。不十分な回答をして申し訳ありません。
　量子力学が空間の広がりを持つというのは、状態が波動関数で表される、ということを指したものです。たった1個の粒子の状態でさえ、広がりを持った波としてしか記述されないというのは、物質は本質的に広がりを持っていると考えるべきものと思います。例えば、重力場の中に局所ローレンツ系をとり、そこでは自由粒子として振舞う粒子の波動関数を考えます。慣性系では、波動関数の広がりには制限はありません。いくらでも広い範囲の波動関数というものは考えられます。ところが、局所ローレンツ系では、中心から外れていくと潮汐力が働きますから、中心から遠く離れた場所では、自由粒子とはいえなくなります。このことは、局所ローレンツ系では、慣性系での量子力学は適用できない、ということになるのではないかと考えます。
　ただし、これも私が知らないだけで、実際はそうではないかもしれませんので、参考にはならないかもしれません。

お礼

再度のご回答をありがとうございました。
不勉強なため、もうほとんどフォローできませんが、雰囲気はつかめました。是非もっと勉強してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.5

grothendieck

下の回答で参考URLを付けておらず申し訳ありませんでした。大変有用なサイトです。ぜひ御覧下さい。

参考URL：

http://www.emis.ams.org/journals/LRG/sitecontents.html

お礼

参考のＵＲＬも教えていただき、ありがとうございました。英語はそれほど得意ではありませんが、機会をみてぜひ挑戦したいと思います。

回答No.4

grothendieck

慣性質量と重力質量が等しいことを「弱い等価原理」と呼びます。これだけでは重力場の理論を作ることはできません。弱い等価原理に局所ローレンツ不変性とlocal position invariance を加えたものを「アインシュタインの等価原理」と呼び、一般相対論に限らず重力の幾何学化の基礎になっています。したがって一般相対論の検証としては弱い等価原理の検証(エートベスの実験)だけでは不十分で、局所ローレンツ不変性とlocal position invariance の検証も必要です。これについては参考URLの Cliford Will の報告が詳細に述べていますので参照して頂きたいと思います。「量子力学のように空間的に広がりを持つと考えざるを得ない理論との融合は果たされていません」というのは何のことか私には分かりません。conventionalな量子論は「局所場の理論」と呼ばれています。局所場の理論と重力の融合が困難なのは重力相互作用が繰り込み可能にならないからではないでしょうか。重力と量子論の融合はむしろ、粒子を点の様に局所的なものではなく、弦の様に広がりを持ったものとして定式化することにより果たされ様としています。電荷と重力は関係なさそうですが、必ずしもそうとは言えません。Wheelerは電荷は時空の穴だとする突飛な考えを示しました。時空のある点と別の点を結んでいる虫食い穴のようなトンネルがあるとします。電気力線は一つの穴から入って行って別の穴に抜けます。電気力線が入って行く方の穴を周囲から見ると電気力線が吸い込まれるように見えるので負の電荷があるように見えます、一方、電気力線が出てくる方の穴は電気力線が湧き出てくるように見えるので正の電荷に見えます。こうして電荷なしで時空構造だけで電荷ができ、都合の良いことは正電荷の粒子と負電荷の粒子の電荷絶対値がなぜ正確に等しいのか説明できることですが、時空のこのような解は見つかっておらず、一般に受け入れられているわけではありません。

お礼

専門的なご回答をありがとうございました。

私はまったくの不勉強でお恥ずかしいのですが、「弱い等価原理」というものと「アインシュタインの等価原理」というものがあることが判り、勉強になりました。
「重力と量子論の融合が粒子を点の様に局所的なものではなく、弦の様に広がりを持ったものとして定式化することにより果たされようとしています。」というのは、超弦（ひも）理論とかいうもののことでしょうか。
また、電荷と重力の関係についても言及していただき、ありがとうございました。色々なアイデアがあるのですね。

丁寧なご回答ありがとうございました。これからもどうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#175206

等価原理はニュートン力学でも重要ですよ。それはさておき。
「１地点における作用が重力によるものか、加速によるものかが区別できない」というのは、かなりいい線なのですが、ちょっと違います。
「局所的には区別できない」ということです。局所的というのは、トートロジーみたいですが、違いが無視してよいほど小さい、言い換えれば無限小の領域を考えるということです。
実際、そういう領域を考えて式を立て、いったん微分に持ち込むことにより、局所的でない部分をそぎ落としてから、積分に持ち込みます（これは大雑把な言い方なので、ごめんなさい）。
こういうアプローチをすると、加速度運動をしている観測者は自分が重力場にいるという記述が可能になります。これが一般相対性原理、どの基準系でも自由に立場を決めて物理的記述ができるというものになります。
局所的でない部分まで考慮すると、数式上、等価原理からはみでる部分がでてきます。

電磁気のほうですが、古典では、こちらは等価原理というものはありません。あまり気にしないほうがいいでしょう。

お礼

ご回答をありがとうございました。
不勉強のまま質問をしているにもかかわらず、丁寧なご回答をいただき、ありがたく思います。

１点ではなく局所的に考えて微分方程式(?)を立て、それを今度は積分して、広域的な空間を「ゆがんだ」空間である重力場として捉え、この空間の中で、それまで慣性系において成り立っていた「(特殊)相対性理論」を展開すれば、加速度系における「(一般)相対性理論」も成り立つ、という感じでしょうか。
また、電磁気力の方は、やはりあまり関係ない、ということなのでしょうか。重力の場合と同じように考えて、「電磁気場」といった歪んだ空間を考えると、相対性理論の場合と同じような理論展開ができるような気も、何となくしますが・・・？？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.1

apple-man

本当は理解されて質問されてません？（笑）

＞例えば、エレベーターの中の上下２地点で、同じ重さの物体に働く力を調べたとします。もし、厳密にこの２つの力が同じならば、それは加速による作用と判るのではないでしょうか？

　もっと極端な思考実験をすると違いがはっきり
するでしょう。
　エレベータの大きさが地球の１００倍くらい
あったら、地球という重力源は殆ど点ですから、
地球の重力の影響は、エレベーター内では
不均一です。

　一般相対性理論が局所系の理論と
言われる由縁で、一度に対象となる空間が
広くなると成り立たなくなるんです。
数学の多様体の考え方で理論を作って
いる関係なんです。
　硬い表現をすると、宇宙のいたるところで
かつ局所的に成り立つとされていて、
宇宙のどこでも一般相対性理論は
使えるけど、使うときは小さい空間で
使って下さいという限定付きのものです。

お礼

早朝からご回答をありがとうございました。
一般相対性理論が局所系の理論と言われている、ということは、まったくの不勉強で知りませんでした。それにしても、こうした一般相対性理論から、広大な宇宙空間が歪んでいるとか、ブラックホールの存在が予言されるとかが出てくる(?)とは、ちょっと驚きですね。
いずれにしろ、分かりやすいご回答をありがとうございました。