専門学校の入試問題について

質問

【問題】
円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=a、 BC=b、 CD=c、 DA=d　であるとき、四角形ABCDの
面積をa、b、c、dで表せ。

コピーで問題集を学校から頂いた為、解答例が
ありません。

自分なりに解答するならば、
四角形を２つの三角形に分け、面積=1／2(ad+bc)sinθ
からsinθをabcdで表し、代入しました。

面積＝√(a+b-c+d)(a-b+c+d)-(a+b+c-d)(-a+b+c+d)／4

となってしまいます。かなり計算が面倒でしたが・・。
専門学校の問題なのにここまでの物を出題するのか？
と思っています。

勉強不足で申し訳ないのですが、どなたかお力をいただけないでしょうか？

回答No.4

hitomura · ベストアンサー

自分の補足要求は転記ミスということでファイナルアンサーになりそうなので、計算時のアドバイス＋αを。

・アドバイス
ひょっとして、sinθ=√{1-(cosθ)^2}の段階でcosθの値を代入していませんか？
この問題の場合、それをやると４次の文字式の因数分解をやるハメになります。
ここは一工夫して、sinθ=√{1-(cosθ)^2}=√{(1+cosθ)(1-cosθ)}としてからcosθの値を代入してみましょう。

・＋α（更なる学習のため、一部ピー音を被せています）
s=(a+b+c+d)/2と置いて計算を続けると(ピー)という形になります。どこかで見た形ですね。
実際、(ピー)を(ピー)とすると、三角形の(ピー)で出てくる(ピー)そのものになります。

お礼

お返事ありがとうございます。

ルートは分子全体にかかってます。
文字列を見やすいように変えてしまったのですが、
√の中は（a+d+b-c)(a+d-b+c)－(b+c+a-d)(b+c-a+d)。

sinθの求め方は、対角線を余弦定理からcosθを求め、
cosθの２乗からsinθの２乗を求めました。

sinθ^2＝4(ad+bc)^2－(a^2+d^2-b^2-c^2)^2　　　　　　　　　　／4(ad+bc)^2

ここから、因数分解して求めたsinθ^2を平方し、
面積＝2／1(ad+bc)sinθに代入した結果です。
どこかで失敗してますか？

アドバイス＋αありがとうございます。
ちょっと、考えて見ます。

補足

お礼文の入力ミスです。面積＝2／1⇒1／2でした。

回答No.3

BLUEPIXY

私も、
(1/4){(a+b-c+d)(a-b+c+d)(a+b+c-d)(-a+b+c+d)}^(1/2)
になりました。式の真ん中の「－」は、転記間違いですよね。

お礼

計算いただきありがとうございます。
でも、－は転記間違いではないんです・・。
とほほですね・・。

補足

計算し直しましたら、初歩的ミスが発覚し、指摘どおり、括弧間の－は付きませんでした・・。
面積＝√{(b+c+a-d)(b+c-a+d)(a+d+b-c)(a+d-b+c)}/4
という計算結果が！！
BLUEPIXYさんと同じですよね！ありがとうございます！

皆さんにお答えいただいてとても助かりました！

回答No.2

hitomura

計算結果について質問です。
>面積＝√(a+b-c+d)(a-b+c+d)-(a+b+c-d)(-a+b+c+d)／4
の括弧の間の-は計算した結果出てきたのですか？
入力ミスではないんですね？

というのは、この結果を四角形BCDAに適用すると、
面積＝√(b+c-d+a)(b-c+d+a)-(b+c+d-a)(-b+c+d+a)／4
=√(a+b+c-d)(a+b-c+d)-(a-b+c+d)(-a+b+c+d)／4
となり、同じ図形の面積が異なるという結果になるのですが…

それから、√はどこまでかかっているのでしょうか？

なお、#1のアドバイスですが、このようなことになるのはたまたまそうなっている場合のみです。
一般には「円に内接している四角形の対角線はつねに円の直径となる」とはいえません。

回答No.1

mmky

参考程度に
円に内接するのだから例えばACを長辺(円の直径)とすればBとDを頂点とする二つの三角形は直角三角形で、
ABとBCは直角、CDとDAも直角関係であるので、、
面積は、(1/2)(ab+cd)　ということでは。

お礼

お返事ありがとうございます。