リーマン積分以外の積分について

質問

sin(X)を０から∞まで積分しようとしてもリーマン積分ではできません。ルーべク積分とか使用すればできるのですか？

回答No.4

onakyuu · ベストアンサー

直感的にいえば正の無限小量εを考えて

∫(0<t<∞)dt ext(t(if-ε))dt = i/(f+iε)
∫(-∞<t<0)dt ext(t(if+ε))dt = -i/(f-iε)

となりますが、一般に1/(x±iε)=P/x -±iπδ(f)
(Pはコーシーの主値積分を取ることをあらわす）
とかけるのでこれを使って
ext(t(if))dt = 2πδ(f)　　(*)
を導けるといった具合です。

実際、δ関数のフーリエ変換を考えると
∫(-∞<f<∞) δ(f)df exp(-ift)df = 1
となりますが、逆変換が成り立つとすれば
1/2π∫(-∞<t<∞) exp(ift)dt = δ(f)
となり式(*)と同じものが出ます。

式(*)の実部と虚部に分けるとNO.2のお答えの
とおりになります。

回答No.6

grothendieck

クーロンポテンシャルはL^1やL^2に属さないので通常のフーリエ変換の理論は適用できません。ディラックのブラ・ケットの形式はGelfandの三つ組みを用いることによって数学的に厳密に定式化されます。この定式化の下では作用素の定義域は核型空間と呼ばれる遠方で早く減衰するような関数の空間なので
　∫(0→∞) sin x dx=1
ということも正当化されるのではないでしょうか。

回答No.5

onakyuu

訂正があります。７行目

誤）ext(t(if))dt = 2πδ(f)　　(*)

正）∫(-∞<t<∞) ext(ift)dt = 2πδ(f)　　(*)

回答No.3

keyguy

佐藤　シュワルツ　超関数
というキーワードでいくらでも出てきますよ

ちなみにシュワルツはこの業績によりフィールズ賞を受けています

回答No.2

keyguy

超関数の世界では
∫(-∞<t<∞)dt・cos(2・π・f・t)=δ(f)
であり
∫(-∞<t<∞)dt・sin(2・π・f・t)=0
であることは知っているでしょうね?

補足

知りません。初めて知りました。どんな内容ですか？
それは数学的には正しくないような感じがしますが

回答No.1

adinat

ルベーグ積分でも無理です。普通0からxまでの積分をすると1-cos(X)になるわけですが、このX→∞の極限は振動しているから不定です。ちなみに有界区間での連続関数の場合はリーマン積分とルベーグ積分は一致します。そして広義積分に関しては、ルベーグ積分可能ならば広義リーマン積分可能です。逆にいうと広義リーマン積分できなければ（sin(X)の0から∞の積分）ルベーグ積分もできないのです。連続関数の場合ですけどね。