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数学の証明問題です(大学レベル)
1 平均値の定理を用いて、「ある連続区間で定義された微分可能関数f(x)について、その区間上のすべての点における微分係数が0ならば、関数f(x)は定値関数である」を証明せよ 2 f'(x)=ex(eのx乗)であることを知っているとして、(log x)'を求めよ(理由も答えなさい) 以上の2問が、いまいちよく分からなくて困っています。どなたか数学に長けている方、お答え願えませんでしょうか。どちらか1問だけでも構いません。よろしくお願いいたします。
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寝起きの頭の体操。寝ぼけた頭をたたき起こすにはこれが一番良いんですよね。 (1) 平均値の定理と言うのは、 『f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続、開区間(a,b)において微分可能とすると f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a) を満たすξが(a,b)の中に存在する。』 と言うものでしたよね? そうすると任意のI⊃I'=[x1,x2]においてもf(x)はこの区間で連続、(x1,x2)で微分可能なのでやはり f(x2)-f(x1) = f'(η)(x2-x1) を満たすηが(x1,x2)に存在します。 仮定よりI=(a,b)の中にある全てのξでf'(ξ)=0なので、 この区間に含まれるI'=(x1,x2)の中にある全てのηでf'(η)=0、即ちf(x2)-f(x1)=0 これが任意のI⊃I'=[x1,x2]について成り立つので、a≦x1≦x2≦bを満たす任意のx1,x2について f(x1) = f(x2) これはf(x)が区間I=[a,b]において定数関数である事を示す。 (2) 『f(x)がx0で微分可能とし、f'(x0)≠0 とする。f(x) が x0 の近傍でも連続で強い意味の単調関数とする時 y0 = f(x0) とすると逆関数 {f^(-1)}' も y0 で微分可能で、 {f^(-1)}'(y0) = 1/f'(x0)』 という事が言えます。 (証明) f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0) (α(x)は x0 で連続) とおくと x0 の近傍で α(x) = f'(x)である。 上の式に x = {f^(-1)}'(y), x0 = {f^(-1)}'(y0) を代入すると f・{f^(-1)}(y) = f・{f^(-1)}'(y0) + α{f^(-1)}(y) [{f^(-1)}(y) - {f^(-1)}(y0)] f・{f^(-1)}(y) = y だから y = y0 + α{f^(-1)}(y) [{f^(-1)}(y) - {f^(-1)}(y0)] {f^(-1)}(y) = {f^(-1)}(y0) + [1/{αf^(-1)}] (y - y0) {f^(-1)}(y)は y0 で連続で α(x0) = f'(x0) ≠ 0 だから 1/α{f^(-1)}(y) は y0 で連続、 したがって{f^(-1)}(y)は y0 で微分可能で {f^(-1)}(y0) = 1/{αf^(-1)}(y0) = 1/f'(x0) (証明終) x0,y0 を x,y に広げると {f^(-1)}'(y) = 1/f'(x) これを使います。 y = f(x) = e^x とすると {f^(-1)}(y) = log y, f'(x) = e^x = y よって (log y)' = 1/y y を x に書きなおして (log x)' = 1/x です。 理解できなかったらまず微分可能の定義 f(x) = f(x0) + α(x - x0) + g(x) lim{x→x0} g(x)/(x - x0) = 0 および次の性質 『f(x) が x0 で微分可能であるための必要十分条件は、x0の近傍で定義され、x0 で連続な関数 α(x)があって、 x0 の近傍で f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0) と表される事である。この時 f'(x0) = α(x0) である。』 (証明) α(x) = {f(x) - f(x0)}/(x - x0) (x≠0), α(x0) = f'(x0) と定義するとlim{x→x0} α(x) = α(x0), かつ f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0) 逆に、f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0) = f(x0) + α(x0)(x - x0) + {(α(x) - α(x0)}(x - x0) そこで g(x) = {(α(x) - α(x0)}(x - x0) とおくと lim{x→x0} g(x)/(x - x0) = lim{x→x0} {α(x) - α(x0)} = 0 (証明終) を参考にしてください。
その他の回答 (2)
- redbean
- ベストアンサー率38% (130/334)
2のヒントだけ。 e^x の微分は分かりますよね。f''(x)です。 ここで、逆関数微分の公式をあてはめれば いいのです。
お礼
早々のご回答ありがとうございました。そうですね。逆関数微分の公式に適用すればいいんですよね。参考になりました。
- hitomi_sa
- ベストアンサー率25% (1/4)
#学部4年でしかも専門が代数だと、「経験者」じゃなくて #「一般人」になってしまうのかもしれない・・・。 (1) 平均値の定理を使えと書いてあるのがポイント。 微分可能な関数f(x)は[a,b]で定義されていて、その 区間で連続であるものとします。 a≦s<t≦b となるような任意のs,t (実数)に対して、 平均値の定理から、 (f(t)-f(s))/(t-s) = f’(c) ・・・となるようなcがs<c<tの間になるものが存在する はずですが、f’(c)は「すべての点における微係数が0」 ・・・ですから、それは0のはずです。 すると、f(t)=f(s)となりますが、t,sは a≦s<t≦b の条件下で取ることができますから、 f(x)は定数関数です。 # ・・・でいいのかなぁ。
お礼
早々のご回答ありがとうございました。これを参考に何とかやってみたいと思います。
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お礼
早々のご回答ありがとうございました。ここまで詳細に回答していただけるとは・・・(^^)。参考にさせていただきます。