カラテオドリ=ハーンの拡張定理
- カラテオドリ=ハーンの拡張定理(柴田良弘著 ルベーグ積分論)についての要約文です。
- カラテオドリ=ハーンの拡張定理は、ΩをXの有限加法族としたとき、A-E∈Σなのでσ(A-E)≦λ*(A-E)である。また、有限でないとσ(A-E)≦λ*(A-E)なのでσ(E)≧λ*(E)は成り立たない。さらに、一般の場合はA∈Ω、λ(A)<∞の場合と、複数のXk∈Ω、λ(Xk)＜∞の場合について場合分けがある。
- カラテオドリ=ハーンの拡張定理についての質問点として、(1) A-E∈Σなのでという表記の意味が分からない、(2) 有限でないとσ(A-E)≦λ*(A-E)なのでσ(E)≧λ*(E)は成り立たないのか、(3) 最後の「一般の場合は」とはどの場合を指しているのかが分からないというものがありました。
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カラテオドリ=ハーンの拡張定理
画像のカラテオドリ=ハーンの拡張定理(柴田良弘著 ルベーグ積分論)について、分からない点があり質問させて頂きました。 以下、記号が出せないので、ΩをXの有限加法族としています (1)中段で「A-E∈Σなので」σ(A-E)≦λ*(A-E)である、とありますが、 A-E∈Ω(⊂Σ)なのでσ(A-E)≦λ*(A-E)である、なら前段で証明したことから理解できるのですが 「A-E∈Σなので」と表記しているのがモヤモヤしています… (2)「…はすべて有限であることに注意すれば」の部分、有限でないと「σ(A-E)≦λ*(A-E)なのでσ(E)≧λ*(E)」は成り立たないのでしょうか。 (3)最後、「一般の場合は」とありますがどの場合を指しているかがよく分からず、 前段はA∈Ω、λ(A)＜∞と、A一個について、 「一般の場合」は複数(可算個)のXk∈Ω、λ(Xk)＜∞について という感じで場合分けしているという認識で合ってますでしょうか。 以上、ご教示頂けますと幸いです。 何卒宜しくお願い致します。
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(1) > A-E∈Ω(⊂Σ)なのでσ(A-E)≦λ*(A-E)である、なら前段で証明したことから理解できるのですが > 「A-E∈Σなので」と表記しているのが 両方ともに、今の証明の流れを理解していますか？ 前段で示したことは何でしたか？前段で、Eはどこの元と仮定したのですか？(ii)の冒頭から（とくに(ii)の冒頭を）もう一度読み直しましょう。 (2) 必ずしも成り立たない。「…はすべて有限である」時は確かに成り立つこと、そうでない場合は必ずしも成り立たないこと、なぜかをよく考えてみましょう。 (3) これも証明を読めば（証明の流れを理解すれば）わかるはずです。 「一般の場合は」の前の段階は、「逆の不等式を示すために」のすぐ後の「先ずA∈ΩでE⊂Aかつλ(A)<∞なるものが存在」する場合。 で「一般の場合」は、Eに対してそうしたAが必ずしも存在しない場合。この場合も、λがσ有限なので、証明に書いてあるようなX[k] (∈Ω)を取ることが出来て、このX[k]に対して、 E∩X[k]∈Σ, E∩X[k]⊂X[k], λ(X[k])<∞ となるから E∩X[k] については、『「先ずA∈ΩでE⊂Aかつλ(A)<∞なるものが存在」する場合』が適用出来る、ということ。
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