BO-BO-keshi の回答履歴

何度か、このサイトで位相に関して質問をしている初学者です。 おかげさまをもちまして、理解が進んだと感じています。 さて位相の言葉を使うと、 「位相空間Yの開集合Vのfによる逆写像 f^{-1}(V)=UがXの開集合である場合、f : X→Y は連続」 などというと思いますが、この表現と通常のイメージでいうところの関数の連続/不連続とを対応させて理解を進めたいと思っています。 以下、1次元Euclid空間 X から 1次元Euclid空間 Y への写像 f : X→Yを考えます。 １）x=0でジャンプする関数（x=0で定義されている） ： f(x)=x (x <= 0), f(x)=x+1 (x>0) この場合、たとえば (1/2, 3/2) のf による逆写像は f^{-1}((1/2, 3/2)) = [0, 1/2) となります。これは X の開集合ではないので、f(x)は不連続。 ２）x=0でジャンプする関数（x=0で未定義）： f(x)=x (x < 0), f(x)=x+1 (x>0) 【質問】 ●（１）の考え方、論証はこれで正しいでしょうか。 ●（２）を（１）のと同様の論理で考える場合、 「Yの下位集合 *** の f による逆写像 f^{-1}(***) が Xにおける開集合でないので、f は不連続」 となると思いますが、この場合 *** はどういった集合になり、どういう理屈で逆写像はXの開集合ではない、と結論付けられるのでしょうか。 （x=0で定義されていないので、Xの位相がいわゆる1次元Euclid位相ではない？） 以上、ご教示よろしくお願いします。

電車でお化粧する事を批判する方の気持ちって、どこからくるのでしょう？ やはり　「女性は女性らしくあれ」　という古典的な考えからくるものなんでしょか？ それとも、単にマナー違反という気持ちからくるものでしょうか？ 私は30歳の女性です。 私自身は、電車で化粧はしません。 揺れてお化粧しづらいのと、人目が気になるからです。 でも、お化粧している人を悪いとも、マナー違反とも思いません。 もちろん、パウダーが飛び散るとか、化粧道具を置くのに座席を使っているとか。 周囲の人に迷惑をかけるようなやり方は、マナー違反だと思うのですが。 誰にも迷惑をかけていないのだから、批判する方がいるのが少し疑問です(>_<) 私自身の事ですが。 私は、慢性的な鼻炎で鼻をかむ事が多いです。 電車に乗っている時に、我慢できず鼻をかむ事もあります。 お化粧することよりも、わたしの鼻をかむことの方が、 よっぽど人に不快感を与える行為のように思えます。 （だって、電車に乗っていなければ、お手洗いに行ってから鼻をかみます） でも、電車で鼻をかむ行為を注意する方ってほとんどいないですよね。 生理現象や病気だから、そちらは仕方のない事と言って下さる方もいるでしょう。 しかし、接客業などの女性は、お化粧しないでお客様の前に出るのはマナー違反と。 お化粧も　「したい」　ではなく、　「しなければならない」　事。 通勤の時間を有効活用して、他人に迷惑をかけることなく、 お化粧することを不快に思う方は、どの様な理由からなのでしょうか？？

絶対値を含む不等式の証明 以下のような問題がありました。 問題：不等式　ｌa+bｌ≦ｌaｌ+ｌbｌ・・・(1)を利用し 　　　　不等式 ｌaｌ-ｌbｌ≦ｌa+bｌ・・・(2)を証明せよ 解答：(1)の不等式でaの代わりにa+b、bの代わりに-bとおくと 　　　　ｌ（a+b）+（-b）ｌ≦ｌa+bｌ+ｌ-bｌ よって　ｌaｌ≦ｌa+bｌ+ｌbｌ ゆえに　ｌaｌ-ｌbｌ≦ｌa+bｌ 私は全く違う方法で解きましたが この解答の最初の行の説明が全く理解できません なぜa+b、-bという具体的なものがわかるのですか？ 教えてください。 御願い致します。

位相空間では、点列の収束という概念が定義されていると思います。手元に適当な本がないので、不確かな記憶ですが、 位相空間Ｘの点列(a_n)がαに収束する ⇔αを含む任意の開集合Ｏについて、あるＮが存在して、ｎ≧Ｎならばa_n∈Ｏである という雰囲気の定義だったと思います。(ｎは自然数のような離散的な値ではなくてもよいはずですが、自然数と考えて問題ありません) さて、ある空間Ｘ上の点列(a_n)に対して「収束(極限)」の概念を定義したとしたとします。 この時、空間Ｘに適当な位相構造を入れてやる事で、位相空間Ｘにおける収束と、ここで定義した収束が一致するようにする事は可能でしょうか？(もし、必要なら、Ｘはベクトル空間としても構いません) そもそも何を「収束」と呼ぶべきかすら分からないですが、一般的な定義あるのであればその定義と考えて差し支えありません。(ないのであれば、困ってしまうのですが、きっとあるでしょう) 具体的な例としては、ヒルベルト空間の線型演算子には、「弱収束」や「強収束」と言った概念がありますよね。これらの意味の収束を与える位相は存在するのか、という事です。(具体的にどう構成するのかは知りませんが、「弱位相」とか「強位相」と呼ばれる位相があったと思います)

整数nに対して、(n＾3)+5nは6の倍数を証明する問題で 数学帰納法を用いると (1) n=1のとき (n＾3)+5n=6 6の倍数 (2) kが自然数のとき(k＾3)+5k=6A Aは整数とする このときどうしてkのk+1を代入するのですか？ 計算をすると (k＾3)+5k =(k＾3)+5k+3（k＾2)+3k+6 =6A+3k(k+1)+6 になりましたが これをどのような意味をもつのか分かりません。 どのように証明するのでしょうか？ (3) (n＾3)+5ｎは6の倍数とすると (-n)＾3+5(-n)のときやn=0のときもどうして６の倍数になるのか分かりません。

一様収束の問題をとりあえず示してみたのですが、あっているかどうか分からないので、分かる方がいたら教えてください。 ＊仮定＊ 　関数列{fn}、{gn}はI上f,gに一様収束する。 １．{fn+gn}がI上f+gに一様収束する事を示す。 仮定より 　∀ε1>0、∃N1（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1 　∀ε2>0、∃N2（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2 また、 　|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)| なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数）　s.t. 　n≧max{N1,N2}⇒|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)|<ε1+ε2 ２．{fngn}がI上fgに一様収束する事を示す。 仮定より 　∀ε1>0、∃N1（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1 　∀ε2>0、∃N2（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2 また、 　|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|fn(x)gn(x)-f(x)gn(x)|+|f(x)gn(x)-f(x)g(x)| 　　　　　　　　　　　　 ≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)| なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数）　s.t. 　n≧max{N1,N2}⇒|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)|<|gn(x)|ε1+|f(x)|ε2 １．は多分問題ないと思うんですが、２．が結構不安です。 あと、ε-δ論法の証明の書き方って、こんな感じでいいんでしょうか？ そのあたりも分かる方がいたら教えてください。

一様収束の問題をとりあえず示してみたのですが、あっているかどうか分からないので、分かる方がいたら教えてください。 ＊仮定＊ 　関数列{fn}、{gn}はI上f,gに一様収束する。 １．{fn+gn}がI上f+gに一様収束する事を示す。 仮定より 　∀ε1>0、∃N1（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1 　∀ε2>0、∃N2（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2 また、 　|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)| なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数）　s.t. 　n≧max{N1,N2}⇒|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)|<ε1+ε2 ２．{fngn}がI上fgに一様収束する事を示す。 仮定より 　∀ε1>0、∃N1（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1 　∀ε2>0、∃N2（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2 また、 　|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|fn(x)gn(x)-f(x)gn(x)|+|f(x)gn(x)-f(x)g(x)| 　　　　　　　　　　　　 ≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)| なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数）　s.t. 　n≧max{N1,N2}⇒|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)|<|gn(x)|ε1+|f(x)|ε2 １．は多分問題ないと思うんですが、２．が結構不安です。 あと、ε-δ論法の証明の書き方って、こんな感じでいいんでしょうか？ そのあたりも分かる方がいたら教えてください。

数cの教科書に 双曲線の説明として、 ２定点ｆとｆ’(焦点)からの差が 一定である点ｐの軌跡を　双曲線と呼ぶ。 ただし距離の差は、線分ｆｆ’の長さより小さいものとする。 とあるのですが、 もし距離の差が線分ｆｆ’の長さよりも大きかったら どのような曲線になるのでしょうか？ 自分で計算してみたら、楕円の式になってしまい、 それだと距離の和が一定になってしまって、 差が一定ということをみたしませんでした。。。 そもそも距離の差が線分ｆｆ’の長さよりも大きい曲線 というものは存在するのでしょうか？　 なぜ双曲線の定義の中に 「線分ｆｆ’の長さより小さいものとする」 という言葉が含まれていなければならないのかを わかる方がいたら教えてください。

εーδ論法を最近耳にしました。私は一応理系の大学を卒業しています。 １０年ちょっと前です。で、学生時代を思い出してみたのですが、教養の数学の授業の時、確かに教授が、高校での関数の連続性の証明の仕方や極限の考え方には不備があるというか厳密性に欠けると仰った記憶はあります。また多変数関数の偏微分とか全微分といった単語も記憶にあります。でもεーδ論法という単語は全く聞き覚えが無いのですよ。εーδ論法は最近の話ですか？それとも単に、私が習ったことを全く覚えていないだけでしょうか？

自然数は１以外の素数を約数として必ず１個は持つことはどうしてですか？？

確率について、わからないことがあります。初歩的で恐縮ですが、だれか教えてください。 サイコロを振ると、全く偶然に１から６のどれかの数字が出ますよね。 例えば２回振って、１が２回続けて出る確率と、１が出て次に３が出る確率は同じだと思います。 もっと言えば、６回投げて1→2→3→4→5→6とでる確率と、1が6回続けて出る確率は同じですよね？ ただ、何十、何百とサイコロを投げ続けて、出たサイコロの目を集計すると１～６までの数字が均等になる、つまりそれぞれ１／６ずつ出るように収れんしていくのだと思います。 なぜ、1回ごとの出る目は偶然なのに、たくさん振ると均等な割合に収れんするのでしょうか？ そこがよくわかりません。

2次関数と直線で囲まれた部分の面積の求め方を知りたくて検索してみたのですがよく分かりません… 求め方を教えて下さい y=x^2-2x+1、y=2x+1を例に教えてほしいのですが…

今勉強している複素解析学の初歩のところで、ベキ級数の収束半径を求める問題についてお力をお借りしたいです。 テキストにあった問題「Σ(n!)z^nの収束半径は？（Σはn=0から∞まで）」でコーシー・アダマールの公式を使おうと思います。 n!のn乗根をここではn√nと書くことにして n√n! = n√n・n√(n-1)・…・n√2・n√1 とn個の積だと考えて それぞれはn→∞の極限で１に行くので、n√n!もn→∞の極限で１になると思い、公式から収束半径ρは１だと考えました。 ら、解答には収束半径は０とありました。そして「なぜならz≠0ならばn!|z^n|→∞が成り立つ」とあるのですが、納得できません。 自分の考え方は何が間違っているのでしょうか？よろしくお願いいたします。

高校１年生です。 数学Iで平方完成をやったのですが、全く意味不明です。 どうか平方完成についてご伝授頂けませんでしょうか・・・。

△ABCの角Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点をDとおく。 １）線分AD上にDB=DXとする点Xをとると、Xより辺BC、ABにおろした垂線の長さは等しいことを示せ。 （BXが角Bの二等分線であることを示す） ２）線分ADのDの方向への延長上にある点Yから直線BC、ABにおろした垂線の長さが等しいならば、Dは線分XYの中点となることを示せ。 （BD=DYを示す） 明日のテスト範囲なのですが、図を描いてもややこしくてよくわかりません。解ける方、証明の問題で説明が面倒とは思いますが、よろしくお願いします。

平面ベクトルでの質問があります。 ご教示戴ければ幸いです。 [問1] (1) OA=2√2、OB=√3、(→OA)・(→OB)=2の時、△OABの垂心をHとする時、(→OH)を (→OA)と(→OB)で表せ。 [答え](→OH)=1/10(→OA)+3/5(→OB) Hが垂心⇔(→AH)・(→OB)=(→BH)・(→OA)=0…(1) で (→OH)=s(→OA)+t(→OB)と置く、、、、 まで分かったのですがどうやって (→OH)を(→OA)、(→OB)の和で2通りに表せるのでしょうか? (2)平面上にO、A、B、Cがある。(→OA)+(→OB)+(→OC)=(→0) 、OA=2、OB=1、OC=√2の時、△OABの面積を求めよ。 [答え] √7/4 ((→OA)・(→OB)=-3/2) ヒントには"cos∠AOBを求めよ"とあるのですが、 どうすればcos∠AOBが求まるのでしょうか?

素数は無数にあることを証明する際、 背理法を使って、 素数を有限個しかないと仮定して、矛盾を導く際、 a1,a2・・・・ak個あるとすると、 整数a1・a2・・・・・ak＋1　はakより大きいから・・・・・・・ (省略) ＋1はなんですか？？矛盾を導くためにおいたのですか？ よろしくお願いします。

lim x→1 [-(x＾2)＋2x＋2] 〔〕はガウス記号です 答えは２にですが自分の解き方と答えが合いません。 lim[x→2][-x^2+2x+2] =lim[x→2][-(x-1)^2+3] =lim[t→1][-t^2+3] (t-1=xと置いた) ここで lim[t→1+0][-t^2+3]=lim[t→1+0]1=1 lim[t→1-0][-t^2+3]=lim[t→1-0]2=2 よってlim[x→2][-x^2+2x+2]は存在しません ではないのですか？

行列　A＝｜２　１　１｜ 　　　　 ｜１　２　１｜ 　　　　 ｜１　１　２｜　 の固有ベクトルを求める過程なのですが ひとまず固有値λ＝１(重解)、４とでました。 ここλ＝１のときの固有ベクトルですが 　　(A－E） |x| = |1 1 1| |x| = |0| 　　 　　　　 |y| |1 1 1| |y| |0| 　 　　　 　 |z| |1 1 1| |z| |0|となり 　　x+y+z=0を満たす(x,y,z)はすべて固有ベクトルになる 　　この後の計算ですがどうすればいいのでしょう？ 　　重解の場合は2次元というイメージなので2つの互いに独立した 　　固有ベクトルができるというのはわかるのですが計算上はどのように 　　考えるべきでしょうか？ 　　ご教授願います。 　　　 　　　　　　　　　　　　　　

|a|＋|b|＋|C|⇔|a|＋|b＋c| と書いてあったのですが、なぜでしょうか？ b＝－2 c＝3のときとか明らかに成り立ってないと思いますが・・・・・