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0～1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ？
「0～1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ。」・・少しニュアンスが違うかも知れませんが、先日数学の先生がこんなことを話してくれました。このことを先生は次のように説明してくれました。数直線上の0～1を半球面とみたて、その半球面上に光源をおき光を放射する。すると半球面上に一対一で光源が実数に対応する。次いで0～1の範囲で作った半球面を取り除けば実数全体にその光源が対応し、よって0～1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じになる。この話を聞いて、なんだかだまされているような気がしました。本当に「0～1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ。」といえるのでしょうか？他にこれを証明する方法を知っている方いらっしゃったら教えてください。
- kazaana017
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正しくは「濃度が等しい」と言います。 下記ＵＲＬには実数vs実数は出ていませんが、濃度に関してはわかりやすいかと思います。
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- DreaMMaster
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「無限」に関して色々常識で考えられないことが起きる最初の例でしょう。 本気で知りたいのなら、先生（その先生か学校図書館の先生に）に、「無限の話がおもしろかったので、もっと詳しいことが知りたいのですが、何か良い本はないですか」と聞いて見られればいかがでしょうか。 古い本でよければ 無限と連続―現代数学の展望 岩波新書 青版 96 遠山 啓 (著) http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4004160030/ がいいと思います。 それなりに定評のある本ですから、お近くの図書館で探されてはいかがでしょうか。（買うほどではないと思います。） ちなみに、#3の方が指摘された話は「オルバースのパラドックス」と言います。 http://homepage3.nifty.com/iromono/kougi/timespace/node42.html が参考になるでしょう。
お礼
今までの常識で考えのつかない数学の世界を知ることができました。またDreaMMasterさんには本等の紹介もして頂き、本当にありがとうございました。数学がまた面白くなりこれからも研究していきたいです。
- BLUEPIXY
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関係ないですけど、 光の例えは、良くないと思います。 もし、そのようなら、宇宙がすごく明るくなってしまうと思うのですが。
式で示すのはどうですか。 例 ｙ＝x/｛(1-x)(1+x)｝ という式はｘに-1<x<1 の数を入れるとｙの値としてすべての実数値をつくる ことが出来ます。 ０＜ｘ＜１ にしたければ ｙ＝(x-1/2)/｛x(x-1)｝ぐらいでＯＫだと思います。 1対1に対応できる関係を作ればいいです。 y=tanx などは－π/2＜ｘ＜π/2 を実数全体に対応させる関数の 例として使えます。 ｘの部分を変えればどのような範囲にも対応できます。 また別の例では、ｘ軸より上に円を置き、円の中心に光源をおけば 半円とｘ軸が対応します。半円を０＜ｘ＜１にすることは 簡単でしょう。
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お礼
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