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角の3等分によって解ける3次方程式
「3次方程式x^3+px+q=0のカルダノ(タルターリャ)の公式で、3乗根に複素数が出てくる場合でも角の3等分をつかって、方程式の解を作図できる。」の解説で3点ほどわからないところがあるので質問します。 cosxが作図できたら、その右端から垂線をひき、左端を中心とし半径1の円を描き垂線との交点をとれば、∠xが作図できることから、角の3等分ができるということは、cos(3y)が与えられたときcos(y)が作図できることである。 コサインの3倍角の公式をつかえば、 cosx=tと置いて、cos(3x)=4t^3-3t、-1<cos(3x)<1なので-1≦A≦1おくとき、3次方程式を4t^3-3t=Aという形に変換し、これを満たすtが求まれば角の3等分ができたということ。カルダノ変換によって与えられた3次方程式は、x^3+px+q=0のかたちになる。x=aX(a≠0)と置き換えるとa^3X^3+apX=-qとなる。 このときa^3:ap=4:-3、4ap=-3a^3が条件になる。ここが1つ目のわからないところです。a^3=4より(3√aでaの3乗根を表します。)a=3√4,3√4p=-3としてはいけない理由がわかりません。 本では続けて、4ap=-3a^3よりa(3a^2+4p)=0、a≠0より3a^2+4p=0、a=±√{(-4p)/3}=±2√{(-p)/3}となると思うのですが、2つの目のわからないところは、a=2√{(-p)/3}とaが正になっているところです。a^3=4よりa>0かどうか自信がもてません。 3つ目のわかないところは、a=2√{(-p)/3}(p<0)を代入して整理すると、 4X^3-3X={(3q)/(2p)}*√{3/(-p)}・・・(1)となるのですが、qをどうやってaやpであらわしたかわかりませんでした。ax^3+bx^2+cx+d=0から2次の項をけしていっても、定数項がa,b,c,dで複雑になりさっぱりわかりませんでした。 以上の3点をどなたか解説してくださいお願いします。 本の解説の続きは、(1)の右辺が-1と1の間にあればよいという条件から、カルダノの公式の平方根の中に入っている部分が0以下のとき、3次方程式は-1≦A≦1とおくとき、3次方程式を4t^3-3t=Aのかたちに変換できると書いてあります。
- situmonn9876
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- 178-tall
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ANo.5 に例示した「3 次方程式と 3 倍角の公式」のような「3 倍角の公式」を利用する手法だと、(非零の実部をもつ) 複素数の3実根を求める「代数的解法」が要る。 「それは不可能」というのが、「還元不可能性」?
- 178-tall
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N0.4 のレス ↓ >別の本では、目盛付き定規を使った方法がのっていました。 >角XOYが与えられた角であれば、まずOY上に点Pを勝手にとり、PからOXに垂線と平行線をひきます。いまOを通って1つの直線を引きこの垂線と平行線と交わる点をそれぞれQおよびRとするときQRの長さをOPの2倍ならしめることができればこの直線は、与えられた角の3等分線であるいえる。 このコメントから算式を作ってみると、∠XOY の「三分の一」角を零点にもつ方程式になり、(当然ながら) 「カルダノ公式」だと (実部が非零の) 複素数の立方根を求めるしかない。 作図だと「測量」が必要になるわけでした。 実務ならば、複素数の偏角を三分の一してチョン…となるところ。
- f272
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MをQRの中点とすれば,MR=MQ=PM=POだから 角POM=角PMO=2*角MRP=2*角MOXとなって,ORは角XOYの3等分線になっている。 #5に書かれている参考文献は,本質的には全く同じなのだが少し違うように言っているので,理解が難しいようなら最初は読まないほうがよい。
お礼
「#5に書かれている参考文献は,本質的には全く同じ、・・・」なんとなくでも理解が進みました。ありがとうございます。
- 178-tall
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参考 URL に、「3 次方程式と 3 倍角の公式」という論文があったのでご紹介してみます。 ↓ 3 倍角の公式 [ p.41 の式 (4) ] を利用した式 (8) 以下を EXCEL で試算。 [例題] y^3 - 4y + 2 = 0 式 (6) にて、p = 4/3, q = 2 とする。 算式は p.43 の y = √p (3√[ r+√(r^2+1) } - … ) … (A) を使用。 (A) の立方根内の初項の r+√(r^2+1) が、絶対値 = 1 の複素数になる。 r+√(r^2+1) = 0.76035 - i*0.64952 絶対値の立方根を求める必要はないけど、角の 3 等分が必要。 「3乗根に複素数が出てくる場合でも角の3等分をつかって、方程式の解を作図できる」 という感じです。
お礼
Excelで具体例を示してくれて、ありがとうございます。
- 178-tall
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>カルダノの解の公式が計算不能のときは、角の3等分に帰着できる。 「カルダノ勘定」の途中で判別式 D = (q/2)^2 + (p/3)^3 <0 になった場合、複素数の立方根を求められないと立ち往生する羽目になる。 その場合には「角の3等分」をすればよい、と読めますが、どのような方法なのでしょうか。
補足
質問をした本ではないですが、別の本では、目盛付き定規を使った方法がのっていました。 角XOYが与えられた角であれば、まずOY上に点Pを勝手にとり、PからOXに垂線と平行線をひきます。いまOを通って1つの直線を引きこの垂線と平行線と交わる点をそれぞれQおよびRとするときQRの長さをOPの2倍ならしめることができればこの直線は、与えられた角の3等分線であるいえる。 具体的には、PからOXに引いた垂線と平行線の間にPO=rの2倍の長さ2rをもった線分QRを、Oを通ってはめ込むには、 定規に2rの間隔で印をつけておきこれをOを通るように適当にずらしていって1つの印が垂線の上へ、他の一つの印が平行線の上に来るようにうまく置くことができればそれで任意の角の3等分はできる。 自分には理解できませんでいたが、他にはニコメデスのコンコイドやパスカルの蝸牛線といった曲線を用いる方法もあるようです。
- f272
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#1です。 それでは具体的にやってみましょう。x^3-15-4=0です。 このときp=-15,q=-4ですから,(q/2)^2+(p/3)^3=4-125=-121<0です。 x=2√((-p)/3)X=2√5Xとおけばx^3-15-4=0は40√5X^3-30√5X-4=0つまり4X^3-3X=2√5/25になります。-1<2√5/25<1に注意してください。 ここでcos(3y)=2√5/25からcos(y)が作図できればx=cos(y)*(2√5)です。 今は作図ではなく計算でやってみます。 cos(3y)=2√5/25=0.178885 cos(y)=cos(acos(0.178885)/3)=0.894427からx=0.894427*(2√5)=4 cos(y)=cos((-acos(0.178885)+2π)/3)=.-0.005992からx=-0.26795=-2+√3 cos(y)=cos((acos(0.178885)+2π)/3)=-0.83451からx=-3.73205=-2-√3
お礼
acosなどは調べてみます。cos(y)の計算結果が具体的な実数になったことは作図できるということですね、ありがとうございました。
- 178-tall
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>「3次方程式x^3+px+q=0のカルダノ(タルターリャ)の公式で、3乗根に複素数が出てくる場合でも角の3等分をつかって、方程式の解を作図できる」 このコメントだけでは、わからぬ点あり。 質問をひとつ。 三角関数の 3 倍公式から得られる 3 次方程式 4t^3 - 3t = A の零点 t0 は、A = cos(3θ) としたときの cos(θ) を与えるのは確か。 しかし、「カルダノ勘定」の途中にて判別式 D = (q/2)^2 + (p/3)^3 <0 になる可能性もあり、(虚部が非零の)複素数の立方根を求められずに立ち往生する羽目になりそう。(つまり、角の3等分が不可能) このあたり、解明されてますか?
補足
自分も理解してない点はあると思いますが、本には下記のように書いてありました。 4X^3-3X={(3q)/(2p)}*√{3/(-p)}の右辺が-1と1の間にあればよいから、 [{(3q)/(2p)}*√{3/(-p)}]^2≦1 展開して、p<0に注意して両辺に正数-(p/3)^3をかけて移項すると、(q/2)^2+(p/3)^3≦0・・・(1)これが成り立つとき、3次方程式の解が角の3等分を用いて作図できる。ところが(1)の左辺は、カルダノの解の公式の平方根の中に入っている部分であるから、カルダノの解の公式が計算不能のときは、角の3等分に帰着できる。 また角の3等分は目盛付き定規とコンパスで作図可能とも書いてありました。
- f272
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まず「解説」に書かれていることと,あなたの考えているところを明確に分けて書いてください。紛らわしい。 (1) ここまでで出てくる式は 4t^3-3t=A....(2) a^3X^3+apX=-q....(3) ですが,式(2)はA=cos(3x)が与えられればtを求めることができるという状況の式で,式(3)は与えられた3次方程式を変形させたものです。一般に-qとAは同じではなく定数倍の関係がありますから,係数についてもa^3:ap=4:-3の関係しか成り立ちません。 (2) もしaが負であれば式(3)の代わりに (-a)^3X^3+(-a)pX=q....(4) を考えればXは全く同じですからaが正の場合だけを考えていても一般性を失うことはありません。 (3) a=2√((-p)/3)を式(3)に代入すれば (2√((-p)/3))^3X^3+2√((-p)/3)pX=-q 4X^3-3X={(3q)/(2p)}*√{3/(-p)} となります。
お礼
質問文に書き方も回答も参考にします。ありがとうございました。
補足
おくれて補足してすいません。よろしければお返事ください。 a=2√{(-p)/3}とaが正になっているところで、 回答で左辺のaを-aにかえて右辺の-qがqに代わっているのが理解できなくて、自分なりに考えると、a^3X^3+apX=-qでa<0の時、a^3<0かつa<0,両辺に-1をかけると、 -a^3X^3-apX=q,a^3X^3+apX=-qだからa>0のときと同じでよろしいですか?
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