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数学の問題がわかりません。
数学の問題がわかりません。 お願いします。 2つの関数、(1)y=-x^2+2、(2)y=xのグラフで囲まれる部分をx軸の周りに回転して、できる回転体の体積を求めなさい。
- kenken22525
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少しばかり面倒な問題です。「回転半径」や「くりぬき」の都合で４つの部分に分けて計算することになります。 まず，２つのグラフの項点の座標は (-2,-2),(1,1)です。 さらに(1)のグラフとx軸との交点の座標は(-√2,0),(√2,0)。 (A)0<=x<=1の部分は放物線の回転体から直線の回転体をくり抜く π∫[0→1](-x^2+2)^2dx-π∫[0→1]x^2dx=π∫[0→1]{-x^2+2)^2-x^2}dxで求まります。 （注意：２乗してから引きます。これで体積の差（くり抜き）ができます。引いてから２乗すると平行移動して（潰して）から回転していることになりますのでくり抜きとは異なります） つぎに回転半径が変わる部分です。 (B)-1<=x<=0：放物線のほうが大きい (C)-√2<=x<=-1：直線のほうが大きい (D)-2<=x<=-√2：直線の回転体から放物線の回転体をくり抜く この３つの部分について体積を求めることになります。 (B)について π∫[-1→0](-x^2+2)^2dx (C)について π∫[-√2→-1]x^2dx (D)について π∫[-2→-√2]{x^2-(-x^2+2)^2}dx 求める体積は(A)(B)(C)(D)の部分の体積の和になりますから π∫[0→1]{-x^2+2)^2-x^2}dx+π∫[-1→0](-x^2+2)^2dx+π∫[-√2→-1]x^2dx+π∫[-2→-√2]{x^2-(-x^2+2)^2}dx で求められます。 計算は省きます。
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- asuncion
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放物線と直線の交点を求める。 -x^2 + 2 = x, x^2 + x - 2 = 0, (x + 2)(x - 1) = 0, x = -2, 1 [-2, 1]では放物線が直線より上にあるから、求める体積は π∫[-2～1](-x^2 + 2 - x)^2dx = π∫[-2～1](x^4 + 4 + x^2 - 4x^2 - 4x + 2x^3)dx = π(x^5/5 + x^4/2 - x^3 - 2x^2 + 4x)[-2～1] = π((1/5 + 1/2 - 1 - 2 + 4) - (-32/5 + 8 + 8 - 8 - 8)) = π(17/10 + 64/10) = 81π/10
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お礼
ありがとうございます。 わかりやすかったです！