- ベストアンサー
線形変換の示し方
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
線形変換（線形写像）は，和と実数倍を保存する変換ですね。つまり T(X+Y)=T(X)+T(Y) ……(1) T(kX)=kT(X) ……(2) を満たすことを示せばよいのです。 ところで転置行列の性質として t(X+Y)=tX+tY t(kX)=k(tX) が成り立っていますね。このことから T(X+Y)=t(X+Y)=tX+tY=T(X)+T(Y), T(kX)=t(kX)=k(tX)=kT(X) したがってT(X)=tXの変換は明らかに(1)(2)を満たします。 よって線形変換です。
関連するQ&A
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換？と思ったのですが間違いでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像について（急いでいます！）
（開写像定理の証明の最初にでてきた以下の部分がわかりません） N：ノルム空間 T：N上の線形連続写像 Bn：{x : x∈N ,||x||<n} とします． このときに ∪_{n=1}^{∞} TBn =T∪_{n=1}^{∞} Bn が成り立つ理由がわかりません． つまりTの線形性から有限個の和集合だったら順番をいれかえても大丈夫なことはわかりますが ∞個でも順番をいれかえていいのはなぜでしょうか？ 宜しくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題の解き方がわかりません
以下の問題が解けなくて困っています。 Ｖ、Ｗをベクトル空間、ｖ1、ｖ2、…ｖn をＶの基底とし、ｗ1、ｗ2、…ｗmをＷの基底とする。ここで、dimＶ＝ｎ、dimＷ＝ｍとした。線形写像Ｔ:Ｖ→Ｗに対し、上記基底に対する表現行列をＡとする。 (1)線形写像Ｔが一対一(単射)かつ上へ(全射)の写像であるとき、その逆写像Ｔインバースは線形写像となることを示せ。(このとき、ＴはＶからＷへの同型写像といわれる。) (2)Ｔが同型写像であるときの必要十分条件は、ｎ＝ｍ かつ Ａは正則行列となることを示せ。またＴが同型写像であるとき、Ｔの逆写像の表現行列はＡの逆行列であることを示せ。 解き方がわかる方は教えてください。(1)だけなど、途中まででも構いません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数 逆写像と逆変換
線形代数 逆写像と逆変換 逆写像と逆変換は同じ意味でしょうか？ 逆写像と逆変換に使い分けの違いはあるのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換(随伴変換)に関する質問です
「線形空間Ｖのひとつの基底E=<e[1],e[2],・・・e[n]>を選べば、 ＶからＫ^nへの同型写像ψが決まるから、この意味で、基底(E;ψ)と言うことにする。 Ｖをユニタリ空間、ＴをＶの線形変換とし、ある正規直交基底に関するＴの行列をＡとする。この基底に関して、 Ａの随伴行列Ａ^*によって表現されるＶの線形変換をＴの随伴変換と言い、Ｔ^*で表す。 Ｔ^*は、Ｖの任意の二元x,yに対して内積に関する等式 [T^*(x),y]=[x,T(y)]・・・※ が成立することで特徴づけられる。 実際、この基底を(E;ψ)とすれば [A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]より※が成立。」 という記述が教科書にあったのですが、 ※の成立を示すのに [A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]を示している理由を 私は [T^*(x),y]=[ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))] 今、ψ^(-1)は計量同型写像であるから [ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))]=[A^*(ψ(x)),ψ(y)] 同様に [x,T(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]なので 結局、※は[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]に帰着される・・。 と考えたのですが、これであっていますか？ ψが計量同型写像だからそのい逆写像も計量同型写像であるので [ψ^(-1)(a),ψ^(-1)(b)]=[a,b]である というのを使っているのかな？と思ったのですが。 どなたか詳しい方、添削よろしくお願い致します。 ※[,]は内積、ψ^(-1)はψの逆写像の意です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 射影変換について
射影変換について 射影変換とはどのような変換なのでしょうか？ 調べた限りでは、線形変換+遠近法を合わせた物で直線は直線を保つ変換とあるのですが 漠然としていてよくわかりません。 具体的には正射影なども射影変換の一つだと有りました。 Webで検索したのですが、定義など理解出来る物がありませんでしたのでご質問させて頂きました。 また、Webでは写真撮影が射影変換の例だと述べられていました。 私の認識では、同一集合への写像の場合に変換と言うと認識しています。 写真撮影は3D→2Dの写像だと思うのですが、これも変換と成るのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換について
[1] 変数xに関するn次以下の実多項式のなすベクトル空間をVnとする。実数a,bに対して、写像F_a,b;Vn→Vnを (F_a,b(f))(x)=f(ax+b) (f∈Vn) で定める。 (1)ベクトル空間Vnの次元を求めよ。 (2)写像F_a,bはVnの線形変換であることを示せ。 という広島大院試の問題(一部)なんですが、抽象的な問題が苦手でさっぱりです... (1)はお手あげで、(2)は線形写像とか線形変換を示すのだから、F(f1+f2)=F(f1)+F(f2)などを示せば良いと思うんですが、具体的な数や基底がどこにも書いてないのにどうすれば示せるのでしょうか？参考書の例題などは全て数が与えられているので計算できるのですがこういう抽象的なものになると本当に止まってしまいます。 アドバイスよろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則な線形変換について
１．正則な線形変換には、回転、拡大縮小、反転、ずらしの基本4種類およびこれらの組み合わせ（積）がありますが、それ以外にはありませんか。 正則な線形変換は全てこの中の一つと考えて良いのですか。 ２．このうち合同なものはどれですか、相似なものはどれですか。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！！